2.1.4 平面与平面之间的位置关系课时教学实录

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系

高中数学必修2（人教A版）第二章2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系一节，空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.提升学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养。

课程目标

1结合图形正确理解空间中平面与平面的位置关系；

2.通过共同讨论，操作确认，培养空间想象力,让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.；

3. 让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣.

学科素养

a.数学抽象：空间平面与平面位置关系的表示；

b.逻辑推理：空间平面位置关系的判断；

c.数学运算：空间平面与平面位置的分类；

d.直观想象：在空间中确认平面与平面位置；

e.数学建模：熟悉长方体基本模型；

重点：平面与平面的相交和平行. 难点：空间想象能力的培养；

（一）复习[来源学。科。网Z。X。X。K]

1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面. 2.直线与平面的位置关系：

①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点,

③直线与平面平行——没有公共点. （二）导入新课

问题1：拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？问题2：如图所示，围成长方体ABCD –

A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

平面与平面的位置关系平面与平面平行——没有公共点.平面与平面相交——有且只有一条公共直线.（三）推进新课、新知探究、提出问题

①什么叫做两个平面平行？

②两个平面平行的画法. ③回忆两个平面相交的依据. ④什么叫做两个平面相交? ⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系. 活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义. 问题②怎样体现两个平面平行的特点. 问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交. 问题④回忆公理三. 问题⑤鼓励学生自我训练. 讨论结果：

①两个平面平行——没有公共点.[来源学科网]

②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2. ③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α

且P∈βα∩β=l,且P∈l. ④两个平面相交——有一条公共直线. ⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β. 如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示

（四）应用示例

例1

已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系? 活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价. 解：直线a与直线b的位置关系为平行或异面. 例2

如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论. 解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,. 变式训练

α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是(

)

A.α、β都平行于直线l、m

B.α内有三个不共线的点到β的距离相等

C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β

D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β

分析：如图7,分别是A、B、C的反例. 答案：D 点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维. 例1

α∩β=l,aα,bβ,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示. 活动:学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价. 解：直线a、b的位置关系是平行、相交、异面. 点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系，目的在于培养学生的空间想象能力. 例2

在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l. （1）画出l的位置；

（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长. 解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，

则平面DMN与平面A1C1的交线为QN.QN即为所求作的直线l.如图10. （2）设QN∩A1B1=P,∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1, ∴A1是QD1的中点.又A1P∥D1N,∴A1P=111D1N=C1D1=a. 244∴PB1=A1B1－A1P=a13aa. 44例3

求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内. 已知：l∥求证：，点P∈.[来源:Z|xx|k.Com]，P∈m，m∥l

证明：设l与P确定的平面为又知l∥m，（五）知能训练[来源学科网ZXXK]，且= m′，则l∥m′.

. ，由平行公理可知，m与m′重合. 所以

三棱柱的各面把空间分成几部分?

解：分为21部分. （六）拓展提升

已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβ且c∥a, 求证：b、c是异面直线.[来源学。科。网]

证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交. (1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾. (2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β. ∴ABβ,即bβ.这与b∩β=A矛盾.∴b,c是异面直线. （七）课堂小结

本节主要学***面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：

①两个平面平行——没有公共点；

②两个平面相交——有一条公共直线. 另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.