探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积教学设计(教案)

高中数学必修2 探索与发现

祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积教学设计

石家庄市第十中学 杨海艳

教学笔记：

教材前面直接给出了空间几何体的表面积和体积公式，并没有对公式的由来进行介绍。本节课的主要内容是利用祖暅原理推导空间几何体的体积公式。让学生了解祖暅原理，参与并理解体积公式的推导过程

教学目标分析

知识目标：

(1)

理解祖暅原理,了解我国古代数学家的数学成就,提高学习数学的兴趣

(2)

能利用祖暅原理,通过类比方法将复杂的体积问题转化为简单的体积问题,提高数学思维能力

(3)

了解柱、锥、台、球体积的公式及公式之间的联系,了解柱、锥、台、球体积公式的推导过程,会用相应的体积公式解决实际问题

能力目标：，尊重历史，通过对原理的形成详细介绍，让学生了解到知识是经过问题、猜想、论证、检验、完善，一步一步成熟起来的。让学生感悟到数学语言的无穷魅力. 引导学生解决遇到的困难，使他们感觉到数学的博大精深的同时，也体会到数学的“妙用”。

情感态度价值观：学习数学史，了解数学应用和发展趋势，注意体现

数学的社会需求，数学家的创新精神，数学科学的思想体系，数学的美学价值，以帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观，并使之成为正确的世界观的组成部分。

教学重点及难点

重点:祖暅原理数学思想

难点:祖暅原理证明，理解柱、锥、台、球体积公式的推导过程. 教具：多媒体PPT 教学过程设计: 情境引入生活中的数学

.学生洗扑克牌的实验，

思考：不论怎么洗，如何放置这副扑克牌，它的体积会变吗？ 一. 祖暅简介

见PPT 点明:祖冲之父子是我们中华民族的骄傲和自豪

祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出上述结论. 二.祖暅原理

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“幂势既同，则积不容异”。

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祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，这就是著名的祖暅公理(或刘祖原理)。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。

以长方体体积公式和祖暅原理为基础，可以求出柱、锥、台、球等的体积。

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“幂”是指水平截面的面积，“势”是指几何体的高。意思是两个等高的几何体，若其任意等高处的水平截面积相等，则这两个几何体的体积相等。

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祖暅原理也可以这样理解：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

三.祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算

等积原理的发现起源于《九章算术》中的答案是错误的。他提出的方法是取每边为1寸的正方体棋子八枚，拼成一个边长为2寸的正方体，在正方体内画内切圆柱体，再在横向画一个同样的内切圆柱体。这样两个圆柱所包含的立体共同部分像两把上下对称的伞，刘徽将其取名为“牟合方盖”。（古时人称伞为“盖”，“牟”同侔，意即相合。）根据计算得出球体积是牟合方盖体的体积的四分之三，可是圆柱体又比牟合方盖大，但是《九章算术》中得出球的体积是圆柱体体积的四分之三,显然《九章算术》中的球体积计算公式是错误的。刘徽认为只要求出牟合方盖的体积，就可以求出球的体积。可怎么也找不出求导牟合方盖体积的途径。 200多年后，祖暅出现了，他推导出了著名的“祖暅原理”，根据这一原理就可以求出牟合方盖的体积，然后再导出球的体积。这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积上

面。

牟合方盖介绍及原理的证明见PPT 牟合方盖的提出，充分体现了古人丰富的想象力。以及建立模型解决问题的智慧，刘徽是1700多年前的人，以当时的社会知识水平，就在思考这种问题，简直令人叹为观止。这种智慧的光芒，震古烁今。他们对数学或者哲学问题的执着思考和纯粹探索的精神值得我们敬佩和学习。



在推导球体积问题上，刘徽和祖暅各完成了任务的一半，刘徽确定了牟合方盖之形，指明了努力的方向，而祖暅算出了其体积。一个是奠基性的工作，一个是总结性的成果，两人平分秋色，各有千秋。

四.祖暅原理的应用

1.祖暅原理与柱体的体积

2.祖暅原理与锥体的体积

三棱柱分割成三个等体积的棱锥

3.祖暅原理与球体的体积

五. 例题---体积公式的应用

例: 一个正四面体的所有棱长都是 厘米，四个顶点都在同一球面上，求此球的体积。

六.课堂练习---体积公式的应用

七.课堂小结反思提升

八.课后作业

课后拓展

利用祖暅原理探究台体的体积公式。

球、柱、台、锥体体积之间的关系。

九.板书设计

见PPT 教学反思: 数学是一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分.在“润物细无声”中帮助学生形成数学语言，使其注重数学语言的规范化，同时也让学生感悟到数学语言的无穷魅力. 学生喜欢数学史的学习,兴趣比较高,教师应不断学习提升自己在数学史方面的教学能力,给学生以正确的引领

. 备课参考资料: 二百年后，能实现刘徽愿望的人终于出现了。他就是祖暅！祖暅是南北朝时代大数学家祖冲之的儿子。祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，他的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一来研究。

设OP = h，过 P 点作平面 PQRS 平行于 OABC。又设内切球体的半径为 r，则 OS = OQ = r，由勾股定理，不难证明等高处阴影部分的面积总相等。所以，有理由相信，虽然方锥跟小正立方体去掉小“牟合方盖”后的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也就不能不是相等的了。于是他提出了著名的原理：“缘幂势既同，则积不容异。”再根据刘徽的想法，可求出球体体积公式。

下图是《

立几画板》制作： 牟合方盖的三视图：（三视图中三个等圆的是球，两方一圆的是圆柱，两圆一方是牟合方盖）

显然,只要求出牟合方盖的体积，那么球体积便迎刃而解。可惜的是，刘徽功亏一篑，未能求出牟合方盖的体积。