2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系特级教师教学实录

空间点、直线、平面之间的位置关系

【考点梳理】

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

2．空间点、直线、平面之间的位置关系

图形语言

平行关系

符号语言

图形语言

符号语言

图形语言

符号语言

a∩b＝A a∥b 直线与直线

a∥α

直线与平面

α∥β

平面与平面

相交关系

a∩α＝A

α∩β＝l

a⊂α

独有关系

a，b是异面直线

3．平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

4．异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．

π(2)范围：0，2. 【考点突破】

考点一、平面的基本性质

11【例1】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綉2AD，BE綉2FA，G，H分别为FA，FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

1[解析]

(1)由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉2AD. 1又BC綉2AD，

∴GH綉BC，

∴四边形BCHG为平行四边形. 1(2)∵BE綉2AF，G为FA的中点，

∴BE綉FG，

∴四边形BEFG为平行四边形，

∴EF∥BG. 由(1)知BG綉CH，

∴EF∥CH，

∴EF与CH共面. 又D∈FH，

∴C，D，F，E四点共面. 【类题通法】

1．证明线共面或点共面的常用方法：

(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．

(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．

(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．

2．证明点共线问题的常用方法：

(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．

(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．

【对点训练】

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1，H，O三点共线.

[解析]

如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，

∵BB1綉DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形. 又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，

则H∈平面BB1D1D，

∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1. 故D1，H，O三点共线.

考点二、空间直线的位置关系

【例2】(1)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为(

) A．①④

B．②③ C．③④ D．①②

(2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线MN与AC是异面直线. 其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)

[答案]

(1) A

(2) ③④

[解析]

(1)对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．

(2)由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1是异面直线，MN与AC是异面直线．

【类题通法】

1．异面直线的判定方法：

(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．

(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．

【对点训练】

1．下列命题正确的是(

) A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行

B．若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行

[答案]

C

[解析]

A选项，两条直线可能平行，可能异面，也可能相交；B选项，一直线可以与两垂直平面所成的角都是45°；易知C正确；D中的两平面也可能相交. 2．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

①

②

③

④

[答案]

②④

[解析]

图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．

考点三、异面直线所成的角

A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平【例3】平面α过正方体ABCD-面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(

) 3231A．2

B．2

C．3

D．3

[答案]

A [解析]

设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，

且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，

同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n所成的角．

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，

3故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为2.

【类题通法】

1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．

2．求异面直线所成角的三个步骤：

(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．

(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．

(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

【对点训练】

已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(

) 315103A．2

B．5

C．5

D．3

[答案]

C [解析]

将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD. 由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，

所以AD1＝BC1＝2，AB1＝5，∠DAB＝60°. 在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝3，所以B1D1＝3. 又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，

22AB25＋2－3101＋AD1－B1D1所以cos θ＝2×＝＝AB1×AD15. 2×5×2