2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学评价实录

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

教学目的：通过对生活实例的观察、思考，让学生认识空间中直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系。

教学重点：直线与平面的三种位置关系及其应用。

教学难点：例4的教学是难点。

教学过程

一、新课引入

1、空间中两条直线有几种位置关系？

2、一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？

3、如图，线段A’B所在直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？

二、新课

直线与平面的位置关系有且只有三种：

（1）直线在平面内――有无数个公共点；（如直线A’B在平面ABB’A’内）

（2）直线与平面相交――有且只有一个公共点；（如直线A’B与平面BCC’B’只有一个公共点）

（3）直线与平面平行――没有公共点。（如直线A’B在平面DCC’D’平行）

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

直线与平面的三种位置关系用图表示

一般地，直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线

a在平面α外，应把直线a 或它的一部分画在表示平面α的平行四边形外。

直线a与平面α相交于点A，记作a∩α=A 直线a与平面α平行，记作a∥α。

三.例题: 例1 见教材49 例题4 变式训练

请讨论下列问题：

若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.

图3

解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面. 例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面. 已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.

求证：l与a、b、c共面. 证明：如图4,∵a∥b,

图4 ∴a、b确定一个平面，设为α. ∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l,∴ABα，即lα. 同理b、c确定一个平面β，lβ, ∴平面α与β都过两相交直线b与l. ∵两条相交直线确定一个平面, ∴α与β重合.故l与a、b、c共面. 变式训练

已知aα,bα,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，

求证：PQα. 证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β. ∴P∈β，aβ，Pa.又P∈α，aα，Pa, 由推论1：过P、a有且只有一个平面, ∴α、β重合.∴PQα. 点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法. 思路2

例3. 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.

图5 用符号语言表示为：若a∩b=A,bα,则aα或a∩α=A. 变式训练

若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.

图6 用符号语言表示为：若a与b异面,aα,则b∥α或b∩α=A. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面. 例4. 若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是( ) A.α内的所有直线与a异面 B.α内的直线与a都相交

C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内不存在与a平行的直线

分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且aα,则a与平面α相交.

图7 例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D. 答案：D 变式训练

不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且Aα,给出以下三个命题：

①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________. 分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，

图8 其中真命题是①.

答案：①

变式训练

若直线aα,则下列结论中成立的个数是( ) (1)α内的所有直线与a异面 (2)α内的直线与a都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a平行的直线

A.0 B.1 C.2 D.3 分析：∵直线aα,∴a∥α或a∩α=A. 如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.

图9 答案：A 点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维. 知能训练

已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b=P.

求证：a与β相交,b与α相交. 证明：如图10,∵a∩b=P,

图10 ∴P∈a,P∈b. 又bβ,∴P∈β. ∴a与β有公共点P,即a与β相交. 同理可证,b与α相交. 拓展提升

过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？

解：(1)如图11, C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行. 如图12,

图11 图12 图13 显然，平面PQ是符合要求的平面. (2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行. 点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维. 课堂小结

本节主要学***面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：

①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点. 另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.