1.2.3 空间几何体的直观图课时教学实录

空间几何体的结构及其三视图和直观图

【考点梳理】

1．简单多面体的结构特征

(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；

(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．

2．旋转体的形成

几何体

圆柱

圆锥

圆台

球

旋转图形

矩形

直角三角形

直角梯形

半圆

旋转轴

任一边所在的直线

任一直角边所在的直线

垂直于底边的腰所在的直线

直径所在的直线

3．空间几何体的三视图

(1)三视图的名称

几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．

(2)三视图的画法

①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．

4．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．

【考点突破】

考点一、空间几何体的结构特征

【例1】给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 [答案]

A [解析]

①错误，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②错误，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图(1)所示；③错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图(2)所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

【类题通法】

解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧

(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；

(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型；

(3)通过反例对结构特征进行辨析．

【对点训练】

下列结论正确的是(

) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

[答案]

D [解析]

如图①知，A不正确．如图②，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．

①

②

C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．

由母线的概念知，选项D正确．

考点二、空间几何体的三视图

【例2】一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是(

)

A

B

C

D [答案]

B

[解析]

该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合．

【类题通法】

由几何体的直观图画三视图需注意的事项

①注意正视图、侧视图和俯视图对应的观察方向；

②注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；

③画出的三视图要符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．

【对点训练】

“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是(

)

[答案]

B

[解析]

由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.

【例3】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．

[答案]

22 [解析]

由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABC，M为AC的中点，且BM⊥AC，故该三棱锥的最长棱为PC.在Rt△PAC中，PC＝PA2＋AC2＝22＋22＝22.

【类题通法】

由三视图还原到直观图的思路

(1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状. 【对点训练】

某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱棱长为(

) A．1

B．2

C．3

D．2

[答案]

C [解析]

由三视图知，该四棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABCD.又PA＝AD＝AB＝1，且底面ABCD是正方形，所以PC为最长棱．连接AC，则PC＝AC2＋PA2＝22＋1＝3.

考点三、空间几何体的直观图

【例4】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________.

2[答案]

2＋2

[解析]

如图1，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.

2在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝2. 又四边形AECD为矩形，AD＝EC＝1. 2∴BC＝BE＋EC＝2＋1. 由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A′B′C′D′.

2在梯形A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′＝2＋1，A′B′＝2. 11221＋1＋×∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝×2＝2＋. 2222【类题通法】

1．画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．

2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：2S直观图＝4S原图形．

【对点训练】

已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(

) A．32366a

B．a2

C．a2

D．a2

48816[答案]

D

[解析]

如图①②所示的实际图形和直观图，

13由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝2OC＝4a，

在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，

则C′D′＝26O′C′＝a，

281166所以S△A′B′C′＝2A′B′·C′D′＝2×a×8a＝16a2.