3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学目标设计

《倾斜角和斜率》说课稿

银川高级中学

宋春梅

各位评委，大家好，我说课的题目是《倾斜角和斜率》，我将从教学内容分析、教学目标分析、学生学情分析、教学策略分析、教学过程设计五个方面对本节课进行说明：

一、

教学内容分析

为了更好的把握这节课，我认真研读了教材与教参，具体分析如下：

《倾斜角和斜率》是普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版）必修②第三章第一节的内容。直线与方程是平面解析几何的第一章，直线是用坐标法研究的平面上最简单的图形。而直线的倾斜角和斜率是解析几何的入门课，不仅担负着开启全章的重任，更担负着开启解析几何的重任。教材正是想通过让学生首先经历把直线的几何特征代数化这一过程，初步体会用解析法研究几何问题的思想方法。因此在本课时的教学中不但要落实显性知识――倾斜角与斜率，更要落实隐性知识――几何问题代数化。从此我们可以采用另外一种研究几何的方法：坐标法。坐标法是解析几何中最基本的研究方法，它是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，使学生进一步感受数形结合的重要数学思想。

《倾斜角和斜率》教学时数的安排是一课时，它涉及倾斜角和斜率的概念以及斜率的计算公式，属于概念性知识。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，后续研究斜率、直线平行垂直等都要用到这个概念；而斜率不但是本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一。

倾斜角是刻画直线倾斜程度（方向）的几何量，而斜率是刻画直线倾斜程度（方向）的代数量，在平面直角坐标系的背景下，它们通过正切函数建立本质的联系。

从宏观上说，倾斜角概念的形成是对倾斜程度（几何方向）的几何量化刻画过程，体现的是‘化线为角’的思想；而斜率则是倾斜角的代数刻画，是基于直线上点的坐标的代数刻画；斜率的计算公式则是对两种确定直线位置条件等价性的代数刻画。进一步概括可以发现，本节课内容实质上是研究确定平面直角坐标系上直线位置的两种等价条件及其基于点的坐标的代数刻画——这是数学思想和数学思考层面上的教学重点，而作为数学思考的结果——知识点的教学重点是倾斜角和斜率的概念、斜率的计算公式。

突破重点的策略：通过设置问题情境和问题串，让学生在解决问题的过程中自然的得到倾斜角、斜率的概念及斜率的计算公式。

二、教学目标设置

结合《课程标准》和学生实际，确立本节课的教学目标为：

（1）

理解倾斜角和斜率的概念，在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的要素. （2）

经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的斜率的计算公式，体会分类讨论的数学思想方法。

（3）

亲身经历倾斜角和斜率的概念的形成过程，感受数学概念、方

法及思想的起源是自然的，并从中体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

三、

学生学情分析

为了让学生更好的学习本节课，我调查了解了学生现有学***，并认真分析了学生学习本节课的有利条件与不利条件具体分析如下：

学生在学习本节课以前，经历了函数的学习，初步形成了数形结合的能力，已经掌握了两点确定一条直线、平面直角坐标系、一次函数图象及锐角三角函数等相关知识，有一定的观察分析、解决问题的能力，他们也知道将问题做类比和转化，这些都为本节课知识的生长点提供了有利的条件。但是，高一学生对于从学习过程中发现和提出问题的意识的方面、对前后知识间的联系、理解方面、以及综合应用所学知识的能力方面、还有自觉地把数学问题抽象化的能力方面都有所欠缺。鉴于上面的考虑，我确定本节课的教学难点为：

教学难点：倾斜角与斜率的关系。

突破难点的策略：通过类比坡度的概念、结合教具及几何画板，同时精心设计问题串，引导学生进行有序思考，让学生在解决问题的同时不断发现以下结论：

①

倾斜角与斜率都可以来刻画直线的倾斜程度，倾斜角是几何量，斜率是代数量。

②

斜率是倾斜角的正切值，倾斜角是锐角的直线的斜率为正值，倾斜角是钝角的直线的斜率为负值。

③

并得到倾斜角是0直线的斜率为0、倾斜角是90的直线的斜率不存在。

④平面直角坐标系内，每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90的直线的斜率不存在。

ooo四、

教学策略分析

根据已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学采用合作学习、自主探究的方式。通过教师引领学生经历直线的倾斜角、斜率及斜率的计算公式的形成过程。感受数学是自然的，数学概念、方法以及思想的起源与发展都是自然的，体会归纳、猜想等数学思想方法。

学生的合作学习、自主探究，具体落实在四个环节：

①

创设情境，唤起新旧知识间的联系。利用问题串先引导学生回顾初中阶段与直线有关的学习经验，再引导学生用数形结合的观点重新认识学习经验，引出解析几何的主要思想方法，紧接着给出激光图片是为了让学生体会生活中可以用“一点+方向”的方法认识和确定直线的位置，而这种方法是人脑认识线条的最基本方式，这是发现问题的认知活动。

设计问题串，引导学生进行有序思考。用问题“那么怎么用数学方法来刻画直线l的朝向呢？”开始了本节课的探究，明确了探究目标。再通过问题串及探究活动，引导学生获得倾斜角的概念。

②

③

④

结合教具，感知直线斜率来源的自然性。通过类比坡度的概念，引导学生得到直线斜率的概念。在这个过程中，学生对于“每个倾斜角对应的正切值是否唯一”感到无从下手，教师可以引导学生类比“坡角对应的坡度是否唯一来判断”，培养学生对前后知识间的联系、理解、以及综合应用所学知识的能力。

自主探究，提升学生的学习能力。利用自主探究的方式让学生探究过两点的直线的斜率公式。在这个过程中，充分发挥学生的主动性，教师要引导学生充分有序感知对象的结构和关系，发现其中的关键结构和关系；对感知到的关键结构和关系进行适当的数学表示；再对这些结构与关系进行概括和抽象，并形成公式。

同时，本节课充分运用了多媒体信息技术，通过作图、变换等手段，验证学生的结论，提升学生理性思维能力。

五、教学过程

为了突出重点、突破难点，我将教学过程分为以下五个环节：

（一）

创设情境、引出问题

首先通过：

问题1：直线是几何中的最基本的图形之一，我们在平面几何中对它进行了哪些探究，获得了哪些知识？

教师：在初中，我们学***面几何，主要以公理为基础，直接依据图形中的点、直线、平面关系研究几何图形的性质；今天开始，我们要学习新的一门课——解析几何，采用另外一种研究方法——坐标法，就是以坐标为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何性质。它是解析几何最基本的研究方法。17世纪法国数学家笛卡尔和费玛创立了解析几何，下面让我们沿着前人的足迹走进解析几何王国。首先研究最简单的几何对象——直线，让直线插上“方程”的翅膀“腾飞”吧。

设计意图：引导学生回顾与直线有关的学习经验与知识，重新组织成如下图，并用数形结合的观点重新认识学习经验，并顺势介绍解析几何研究的基本思想方法。

形

. . .

.坐标y 数

ykxbB o A . (x,y)x A 11. B (x2,y2)接下来展示图1，并提出问题2。

问题2:在激光表演中，各种位置关系的光线构成美丽的图案，在图1的各种直线中，你认为由什么条件确定其位置呢？

——“一点+方向”

（教师引导：经过一点的直线有无数条，而区别这些直线的就是方向不同，确定直线上一点后，只要确定它的方向，则这条直线的位置就唯一确定。）

设计意图：引导学生体会生活中可以用“一点+方向”的方法认识和确定直线的位置，而这种方法是人脑认识线条的最基本方式，也是发现问题的认知活动。

问题3：那么怎么用数学的方法刻画直线的方向呢？

设计意图：引出学习目标。

图1 （二）合作探究，形成知识

一、直线的倾斜角

问题3：那么怎么用数学方法来刻画直线l的方向呢？

预设：

学生此时会自然想到用角来刻画，我给予肯定，并在这个环节设计了两个活动：

活动1：请你在平面直角坐标系中画出你认为可以刻画直线方向的那个角，并说说这个角的特征。学生可能会指出以下几个角：

y

. y P

. y P . P o

x o x o x y

o

. y P . x y . P x o o x

接下来通过

思考1：选直线与x轴所成的角还是选直线与y轴所成的角？

思考2：该直线与x轴所成的四个角选哪一个呢？

设计意图：说明选择参照物x轴、y轴都可以，并且选哪个角都可以刻画直线的方向，但从习惯、直观等角度我们规定：以x轴作为基准，用x轴正向与直线l向上的方向所成的角来刻画直线的方向(倾斜程度)，从而得到倾斜角的概念。

活动2：每人经过一点P画直线，观察直线的倾斜角有几类？

学生可能画出下面3种情况的图：

y . y y P . o P . P o o 并且将倾斜角分为锐角、直角和钝角三类。此时我引导学生发现还有平行于x轴以及与x轴重合的直线，并规定：平行于x轴以及与x轴重合的直线的倾斜角为0，进而引导学生得到倾斜角的取值范围为[0,180)。

二、

直线的斜率

为了获得斜率的概念，我首先提出：

问题4：同学们都爬过坡吗？什么样的坡比较难爬？坡的陡缓程度可以用什么来刻画？

预设：

根据生活经验，学生自然会想到越陡的坡越难爬，并在初中就学过用坡度（比)升高量和坡角都能刻画坡的陡缓程度。紧接着我让学生思考：前进量坡度与坡角是什么关系？学生已学过锐角三角函数，很容易得到坡度是坡角的正切值。

设计意图：为获得斜率的概念提供了类比的对象。

问题5：坡度与坡角都能刻画坡的陡缓程度，坡度是坡角的正切值。如果把坡面抽象成一条直线，类比坡度与坡角的关系，请同学们猜想下还可以用什么来刻画直线的方向（倾斜程度）？

预设：

学生通过观察可以得到坡角是0,内的倾斜角，通过后面的引导学生提2出“用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度”这样的猜想。

问题6：我们提出“用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度”这样的猜想，那么我们的猜想正确吗？我们判断的依据是什么？

预设：

教师引导学生发现只要每一个倾斜角对应的正切值唯一即可，教师可进一步追问：如何判断？并引导学生类比坡度与坡角的关系，利用教具让学生自然想到oo对于[0,)内的任意一个角都有唯一的正切值与之对应且tan00且tan902不存在。接下来，学生自然提出对于任意一个钝角对应的正切值是否唯一？教师tan（180-）-tan，进而引导学生给出课本P91的标注：当为锐角时，得到每一个倾斜角都有唯一的正切值，因此可以用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度，从而得到直线的斜率的定义以及可以用“一点+斜率”来确定直线的位置。

为了及时帮助学生对概念有准确的把握，我设计了两个判断题帮助学生对概念进行辨析。

判断对错：

①

平面直角坐标系内，每条直线都有倾斜角。

②

平面直角坐标系内，每条直线都有斜率。

设计意图：辨析倾斜角和斜率的概念。

问题6：倾斜角与斜率都可以刻画直线的倾斜程度(方向)，它们的区别是什么？

设计意图：学生对于这个问题可能表述不准确，我引导学生从数与形的角度来观察，进而得到倾斜角是几何量，斜率是代数量。

接着引导学生探究：倾斜角的大小和斜率的正负之间的关系。

预设：

学生可能会有这样的发现：倾斜角是锐角时，对应的斜率为正值；倾斜角是钝角时，对应的斜率为负值。我通过几何画板演示，引导学生自己验证它们发现的结论是否正确。若学生没有这样的发现，我直接通过几何画板演示，让学生自己获得上面的结论。

设计意图：得到倾斜角和斜率的关系。

三、

过两点的直线的斜率公式

为了获得斜率的计算公式，我首先提出：

问题7：请同学们总结，在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是什么？

设计意图：总结出“两点确定一条直线”，“一点+倾斜角”也可以确定一条直线，“一点+斜率”也可确定一条直线。因此它们是等价的。

问题8：“两点确定一条直线”与“一点+斜率”也可确定一条直线是等价的，那么知道直线上不同的两点的坐标即P能确定该直线的斜1(x1,y1)和P2(x2,y2)，率吗？

在这个过程中我引导学生按照以下步骤进行有序思考：

活动3：请同学们根据倾斜角将直线分类，并将其画出来。

o

y

. y y y P . P . o P

P .

o o

活动4:请同学们将两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)标在上面四个图中。

学生可能得到以下几种类型：

y . . ①

y P2(x2,y2)

. P2(x2,y2)

P1(x1,y1)

y o . P1(x1,y1)

. . o y P1(x1,y1)

②

P1(x1,y1). P2(x2,y2)

. P2(x2,y2)

o

o ③

y P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

y ④

.

. . o P1(x1,y1)

o ⑤

. ⑥

P2(x2,y2)

活动5：分别求出①②③④这四种情况下直线的斜率。

y1y2y2y1同时引导学生探讨k与k的一致性。

x2x1x1x2设计意图：说明斜率k与两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的顺序无关，但要注意横纵坐标是对应的。

然后针对这两种直线的特殊位置，引导学生分别观察⑤⑥中直线上两点的特点。

y y P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

. . . o P1(x1,y1)o

设计意图：进而得到平行于x轴或与x轴重合的直线的斜率也适用于该公式，而平行于y轴或与y轴重合的直线的斜率不适用于该公式，同时从该角度又一次说明了倾斜角是0度的直线的斜率为0，倾斜角是90度的直线的斜率不存在。

（三）应用知识，巩固提高

为了使学生很好的掌握本节课的知识、应用知识，获得学生对知识掌握情况的及时反馈，以便弥补，我精心设计了两个例题。

例1．如图，已知A(3,2)、B(4,1)、C(0,1)，求直线AB、BC、AC的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？

y . B O . A x . C

l2，例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1,2及3的直线l1，l3及l4. 设计意图：通过例1，已知直线上的两点判断倾斜角的范围，采用斜率为中介，实现了数（直线上的点的坐标）到形（直线的倾斜角）的转化；通过例2，已知直线上一点及斜率画直线，就是把“一点+方向”确定直线转化为“两点确定一条直线”，体会它们的等价性。

（四）回顾总结

深化知识

在小结阶段，我引导学生从以下几个角度进行总结反思，使学生对本节内容有一个更全面的认识，培养学生反思总结的良好习惯。

首先通过问题1：本节课主要探究了什么概念知识？引导学生梳理主干知识。接着通过问题2：本节课主要用了哪些数学思想？引导学生归纳总结数学思想方法。然后通过问题3：我们从哪个角度认识了直线？与之前对直线的认识有什么新的突破?引导学生总结发现坐标系下研究直线，体会坐标法。接着通过问题4：你在本节课哪些地方体会到坐标法的思想？引导学生体会坐标法思想，为解析几何的开启奠定基础。

接下来请同学们谈谈对本节课的感受。学生发言，相互补充，教师进行点评.本节课我们通过对直线的倾斜角和斜率的概念的探究，体会了数学是自然的，数学概念、数学方法以及数学思想的起源与发展都是自然的。

设计意图：通过对所学内容进行小结，使学生对本节内容有一个更全面的认识。另外设置的开放性问题，可以让学生畅所欲言，从不同角度交流本节学习的

心得。

（五）作业布置

课后习题1、2、3、4，并把你在做题过程中发现的问题、困惑及经验反馈给老师。

设计意图：安排一组教材上的习题，使学生继续加深对倾斜角和斜率及斜率的计算公式的理解。引导学生交流学习经验，养成总结反思的学习习惯。

以上就是我对本节课的认识与理解，感谢各位的聆听，谢谢大家！

（六）板书设计：

倾斜角

一、

oo

[0,90)

3.1.1直线的倾斜角和斜率

y

. . ①

y P2(x2,y2)

. P2(x2,y2)

P1(x1,y1)

. P1(x1,y1)

o o

k

二、斜率

k

tan(90o)

P三、过两点1(x1,y1)和P2(x2,y2)

. . ③

②

y

P1(x1,y1)

. ④

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

. P2(x2,y2)

o y2y1(x1x

2).

的直线的斜率公式ky x2x1

y

o ⑥

. . P1(x1,y1)

P1(x1,y1). P2(x2,y2)

. P2(x2,y2)

o ⑤