3.1.2 空间向量的数乘运算教学实录及点评

第三章第一节空间向量的数乘运算第一课时

学习目标

1．掌握解空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 了解共线向量定理及它们的推论； 3. 能用两个空间向量共线的充要条件判断两个空间向量共线；

4. 能用共线向量定理解决简单的立体几何中的问题．

________________________________________________________________________________ 自学探究 问题1. 请你试试化简以下式子: (1) 5（3a2b）+4（2b3a）；⑵

6a3bcabc. 

问题2. 在平面上有两个向量a,b，

若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是什么？

问题3. 空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？

【思维导航】（1）类比共线的两个平面向量对空间任意两个向量a,b（b0），

a//b的充要条件是什么？

（2）两个向量a,b共线向量的充要条件中需要注意些什么?

【技能提炼】

1. 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若OPxOAyOB，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？

1

【变式】1.已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若OPOAtOB，那么t2＝

*2．如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，点E在AC′上，且AE∶EC′＝1∶2，点F，G分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x，y，z的值．

→→→→→→→→→→→→(1)AE＝xAA′＋yAB＋zAD；(2)BF＝xBB′＋yBA＋zBC；(3)GF＝xBB′＋yBA＋zBC.

【变式１】已知长方体ABCDA'B'C'D'，M是对角线AC'中点，化简下列表达式：

111⑴

AA'CB ; ⑵

AB'B'C'C'D'；⑶

ADABA'A

222

【变式2】如图，已知A,B,C不共线，从平面ABC外任一点O，作出点P,Q,R,S,使得：

⑴OPOA2AB2AC

⑵OQOA3AB2AC

⑶OROA3AB2AC⑷OSOA2AB3AC. 【思考】类比空间向量与平面向量,你能得到在空间向量的化简运算中的异同点吗?在空间向量中的化简运算中要注意些什么?

教师问题创生

学生问题发现

变式反馈

1.下列说法正确的是（ ）

A. 向量a与非零向量b共线，b与c共线，则a与c

共线；

B. 任意两个相等向量不一定是共线向量；

C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量a与b共线，则ab. →→→→*2．设M是△ABC的重心，记a＝BC，b＝CA，c＝AB，a＋b＋c＝0，则AM为(

) b－cA.

2c－bb－cB.

C.

23

c－bD.

3*3. 已知a3m2n,b(x1)m8n，a0，若a//b，求实数x.

4. 已知平行六面体ABCDA'B'C'D'，M是AC与BD交点，若ABa,ADb,AA'c，则与B'M相等的向量是（ ）

11111111A. abc； B. abc； C. abc； D. abc

22222222