3.3.1 两条直线的交点坐标教学目标设计

3.3.1两条直线的交点坐标

教

材

分

析

1．教学内容

这节课是新教材高一第二学期§3.3“直线的交点坐标与距离公式”的第一节课，主要内容是“两条直线的交点坐标”．

２．地位与作用

本节对“两条直线的交点坐标”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算，其学***台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程等相关知识．对本节的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承上启下的重要作用．

目

标

分

析

１．学情分析

我校高一年级学生已掌握了三角函数、平面向量等相关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高．

2．教学目标

知识与技能

(1)直线和直线的交点；

(2)二元一次方程组的解．

过程与方法

(1)学习两直线交点坐标的求法以及判断两直线位置的方法；

(2)掌握数形结合的学习法；

(3)组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程．

情感态度价值观

(1)通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在联系；

(2)能够用辩证的观点看问题．

3．教学重、难点

重点

根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点．

难点

对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解．

难点突破

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略，由浅入深，让学生自主探究，分析，同时，借助于多媒体的直观演示帮助学生理解，并通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．

教

学

方

法

教

法

在教学方法的选择上我考虑到高中生的心理特征和现有的知识水平等特征,主要采用启发式教学法和类比发现式教学模式，激发学生求知欲，引导学生积极参与课堂活动；为帮助学生更好地理解，因此采用由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，通过设计由浅入深的问题，让学生的思维活动层层展开，步步深入。

利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．

学法

在教学中始终坚持“以学生为主体，教师为主导”的原则，通过问题设置让学生主动参与思考和探究,让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，进一步提高学生几何问题代数化的数学思维能力，逐步将知识内化为自身的认识结构。总之，本堂课倡导的是：以“主动参与、乐于探究、交流合作”为主要特征的学习方式. 教学程序

环节1

y

l直线2xy30，

(1)点（1，5）在直线上吗？

P(x,y)

(2)点（2，7）在直线上吗？

O

(3)点（3，8）在直线上吗？

直线的方程就是直线上每一点坐标都满足的一个关系式。

导入新课

x

作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法. 提出问题

①已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系？

②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

③解下列方程组(由学生完成)：

2x6y30,2x6y0,3x4y20,(ⅰ);

(ⅱ);

(ⅲ)1111. yxyx2xy203232如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？

④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标. 讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空. 几何元素及关系

代数表示

点A 直线l 点A在直线上

直线l1与l2的交点A[来源:学科网ZXXK]

A(a，b) l：Ax+By+C=0

②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系. 设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线A1xB1yC10,是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组是否有A2xB2yC20唯一解. (ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交; (ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行; (ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即

l1、l2相交,唯一解转化直线l1、l2联立得方程组无穷多解l1、l2重合,

无解l1、l2平行.

(代数问题)

(几何问题) ③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：

(ⅰ)26326134;(ⅲ)≠;(ⅱ)≠. 111111213223一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有

A1B1唯一解l1l2相交,AB22A1BCA1xB1yC10方程组11l1l2重合,. 无穷多解A2B2C2A2xB2yC20ABC无解111l1l2平行.A2B2C2

注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用. (b)如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定. ④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点. (b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论. (c)结论：方程表示经过这两条直线l1与l2的交点的直线的集合. 应用示例

例1 求下列两条直线的交点坐标: l1:3x4y20,l2:2xy20.

y20x2,3x4解：解方程组



解得

2x2y20y2.所以l1与l2的交点坐标为M（-2，2），

教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。

变式训练

书本104页第1题。

练习1：求下列各对直线的交点坐标，并画出图形

(1)l1:2x3y12, l2:x2y4;(2)l1:x2, l2:3x2y120.

答案：(1)(

364(2)(2,3)

,)77

l

l

ll

点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式.

例2

判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0. (2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0. (3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.

活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评. 5x,xy0,3解:(1)解方程组得

53x3y100,y.355所以l1与l2相交,交点是(,). 333xy40,(2)解方程组6x2y10,①×2-②得9=0,矛盾, (1)

(2)方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2. 3x4y50,(3)解方程组6x8y100,①×2得6x+8y-10=0. (1)

(2)因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合. 变式训练

判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点. (1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0. (2)l1:(3-2)x+y=7,l2:x+(3+2)y-6=0. (3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5. 答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1). 例3

求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5=0平行的直线方程. 解法一：∵直线2x＋3y＋5=0的斜率为-22，∴所求直线斜率为-.又直线过点33A(1，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x＋3y＋10=0. 解法二：设与直线2x＋3y＋5=0平行的直线l的方程为2x＋3y＋m=0，∵l经过

点A(1，－4), ∴2×1＋3×(－4)＋m=0.解之,得m=10.∴所求直线方程为2x＋3y＋10=0. 点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌握.解法二是常常采用的解题技巧.一般地，直线Ax＋By＋C=0中系数A、B确定直线的斜率.因此，与直线Ax＋By＋C=0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m=0，其中m待定.经过点A(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C=0平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)=0. 变式训练

求经过两直线l1:x2y40和l2:xy20的交点P,且与直线l3:3x4y50

垂直的直线l的方程. 【思路分析】直线l与3x－4y+5=0垂直,利用垂直直线的斜率之积为－1,可得直线l的斜率,然后按点斜式写出方程.此外,也可用直线系方程求解. 【解析】解法一

x2y40,解方程组可以得到P(0,2).

xy20,34因为l3的斜率为,所以直线l的斜率为,

43所以l的方程为4x+3y－6=0. 解法二

设与直线l3:3x－4y+5=0垂直的直线系的方程为4x+3y+m=0.因为它过定点P(0,2),所以4×0+3×2+m=0,m=－6,所以直线l的方程为4x+3y－6=0. 解法三

设经过两直线l1和l2的交点的直线系方程为x－2y+4+λ(x+y－2)=0, 即(1+λ)x+(λ－2)y+4－2λ=0,

显然λ≠2,故其斜率为由题意知1. 214=,解得λ=11, 所以直线l的方程为4x+3y－6=0. 23【点评】两条直线的位置与两条直线的交点存在着等价关系,两条直线的交点又与其方程组成的方程组存在着等价关系,即两直线相交唯一解,对于垂直直线的斜率,两者之积为－1,知其一可求另一个;平行直线的斜率相等. 知能训练

课本本节练习1、2 拓展提升

问题：已知a为实数，两直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0相交于一点，求证:交点不可能在第一象限及x轴上. 分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵坐标的范围. a1x,axy10,a21a1解:解方程组,得.若＞0，则a＞1. 2a1xya0a1y.a1当a＞1时，－a1＜0，此时交点在第二象限内. a12a21又因为a为任意实数时，都有a+1≥1＞0，故≠0.

a1因为a≠1(否则两直线平行，无交点)，

a1a21,所以交点不可能在x轴上，交点(－)不在x轴上. a1a1课堂小结[来源:Zxxk.Com]

本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点. (设计意图:进一步让学生体会类比化归的思想方法，培养数学迁移能力) 作业

课本习题3.3

A组1、2、3,选做4题.

板

书

设

计

3.3.1两条直线的交点坐标

例1

例2