习题2.3优质课教案推荐

§2.3.4

平面与平面垂直的性质（第1课时）

昆明市第十四中学

寇德婷

一、教材分析

（一）教材的地位与作业

空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它是空间问题平面化的典范.平面与平面垂直关系是线线垂直、线面垂直、面面垂直关系中的最高层次。空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.利用平面与平面垂直的性质定理可以证明线面垂直，实现线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，也是作平面垂线的重要方法，是找线面角、二面角、距离等问题的重要方法。因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理，本节的学习在立体几何学习中有着极其重要的地位. （二）教学目标

1.知识与技能目标：

（1）通过探索，能归纳出平面与平面垂直的性质定理，并证明定理，掌握平面与平面垂直的性质定理；

（2）通过对平面与平面垂直的性质定理作用的挖掘，进一步体会线线垂直、线面垂直、面面垂直的密切关系，能运用性质定理解决一些简单问题. 2.过程与方法目标：

让学生在观察模型的基础上，进行操作确认、推理证明，获得对性质定理正确的认识，进一步培养学生观察、发现和论证的能力.

3.情感、态度与价值观目标：

通过引导学生“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生观察、归纳、猜想、证明的科学思维方式，优化学生的思维品质，增强空间想象能力以及逻辑推理能力，增强积极主动的探究意识，培养创新精神.

（三）教学重点与难点

1.教学重点:从教具的演示过程中发现、归纳出平面与平面垂直的性质定理，并证明定理. 2.教学难点:平面与平面垂直的性质定理的证明与应用（作辅助线）. 二、学情分析

1.心理基础：在之前的学习中，学生对立体几何的研究方法已有初步的体会和认知，但在具体问题上，如何构建正确的研究思路和方法还不够明确，认知结构有待完善和优化. 2.知识基础：学生已经学习了线线垂直和线面垂直的定义、判定定理和性质定理，学习了二面角、平面和平面垂直的定义和判定定理，对线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化已有一定的经验和认识. 3.能力基础：学生已经会用线线垂直、线面垂直的判定和性质定理以及面面垂直判定定理证明一些简单的垂直问题，明白线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明方法. 三、教法分析、学法分析

1.教法：情景问题教学法。设置一系列问题链，并用教具演示，引导、观察、发现、论证、总结、应用.在对系列问题的研究和探讨中逐层深入，获得知识与方法. 2.学法：探究学习.师生共探、生生讨论交流.

四、教学设计思路

高中阶段的数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运

算和数据分析.《立体几何》第一章教学目标中也明确要求，培养和发展学生的空间想象能力. “平面与平面垂直的性质”这一课内容不复杂，学生结合生活经验和实物模型是不难理解的，但对线线垂直、线面垂直、面面垂直的判断和性质以及它们间的关系和转化等问题，学生的理解还不够深入、不够系统.教学时要促成学生的深度理解，特别是用数学化、公理化的思想辩证地推理、证明、应用，提高学生的数学核心素养，则需要综合考量，精心设计，方能上出质量.因此，本节课采用情景问题教学法.设置一系列问题链，并用教具演示，引导、观察、发现、论证、总结、应用.在对系列问题的研究和探讨中逐层深入，获得知识、形成方法、通过引导学生“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生观察、归纳、猜想、证明的科学思维方式，优化学生的思维品质，增强空间想象能力以及逻辑推理能力，增强积极主动的探究意识，培养创新精神.具体操作流程如下：

问题1：复习面面垂直判定定理，唤起原有认知.

↓

问题2：研究面面垂直时，其中一个平面内的直线与另一个平面的关系，及其和该直线 ↓ 与交线的关系间的联系，优化原有认知，为新知识的研究搭建认知支架. 问题3：探究垂直关系，引出课题. ↓

问题4、问题5：搭建支架，研究问题，形成新知，体会立体几何问题的研究方法. ↓

问题6、问题7、问题8：应用定理、巩固新知，并在此过程中体会用面面垂直的性质

↓ 证明垂直问题的方法以及辅助线的作法. 问题9、问题10：对比研究、系统归纳、优化认知结构. ↓

问题11：总结提炼、形成方法.

五、教学过程

教学环节

创设情景、提出问题

提出问题

问题1：一条直线垂直于一个平面，那么经过这条直线任作一个平面，与已知平面的位置关系如何？

问题2：两个平面互相垂直，在其中一个平面内任作一条直线，那么，所作的这条直线与另一个平面的位置关系如何？

学生活动

回顾旧知，思考回答：根据两个平面垂直的判定定理，这两个平面垂直

思考、演示、讨论、回答

教师活动

在活动中，教师应关注：

1.学生对判定定理的条件和结论是否能准确回答．

引导学生观察演示的教具得出：

1.可能与另一个平面平行、相交、包含.

2.要求学生能用所作直线和两平面的交线的位置关系来判断直线与另一个平面的位置关系.

设计意图

引导学生自己思考整理已学知识，唤起原认知.

充分认识两个平面垂直时，其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系，搭建

问题3：垂直是相交的特殊情况，上述与平面相交的直线中，是否存在与交线垂直的直线？如果存在，那么这条与交线垂直的直线和另一个平面又有怎样的位置关系？

进入教学、学习新知

问题4：你能将上述猜想用图形语言与符号语言描述出来吗？试一试.

问题5：已知

，

动手操作、思考回答、演示教具，启发思考

得出猜想：两个平面垂板书猜想

直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

认知支架，为垂直关系的研究作铺垫和准备.

提出问题，引发思考，优化原有认知. 将实物模型抽象成数学模型，用图形语言和符号语言表述.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象的数学核心素养.

引发认知冲突，并搭建认知支架，优化认知.

动手操作、作图、用符号语言表述

思考、回答：

AB与内的两条相CD, 1.欲证AB，需要AB,,交直线垂直.

•观察学生活动，鼓励和激发学生积极思考，并特别关注：

1．学生是否积极参与活动； 2．学生是否能用自己的语言将问题表述清楚．

•收集几幅好的图进行展示

•订正作图过程中出现的问题，在黑板上画图并指出：数学是建立在推理的基础上的，从演示中发现的结论是否可靠，还要进行论证才行.

•引导启发：

ABCD

求证：AB

已有ABCD，提出要在内作一条直线（必要时，教师做适当引导）

提出：在内画出既与证明什么？

2.如何画这一辅助线？（必要时稍作点拨：要能证明与AB垂直；要能运用已知）

条件CD相交又与CD垂直的辅助线，这样就能用•请一个同学板书证明直二面角的已知条件.

过程，点评、订正、并给予鼓励.

•讲评、小结：

1.思路分析

2.小结结论：平面与平面垂直的性质定理，分析条件（注意每个条件的必要性）与结论（板书）

今后证明线面垂直的问题，我们又多了一种方法：“面面垂直→线面垂直”

问题解决、应用新知

问题6：如果平面，过空间一点P作一直线l垂直于平面，那么这条直线与另一个平面的位置关系如何？

问题7：已知，

演示、思考、讨论、得出猜想：

猜想1：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作另一个平面的垂线，则这条垂线必在第一个平面内. 猜想2：如果两个平面垂直，那么过第一个平面外一点垂直于第二个平面的直线，必与第一个平面平行. 学生思考、作图、用符号语言将猜想写成命题的形式.

动脑思考、动手操作

•教具演示，启发思考.

在活动中，教师应关注：

1．学生是否积极参与活动；

2．学生是否能准确地对点P的位置进行分类讨论；

3．学生是否能用数学语言表述自己的结论．

•提出问题：如何证明你的猜想？

•发动学生讨论，鼓励学生大胆发表看法.

•引导：欲证

a，若利用公理1来证明，关键在于上是否有不同于点P的一点也在直线a上.由已知条件是找不到的，因此直接证明很困难.引导学生整理认知过程，形成新的认知结构. 设置问题，引发思考，检验、强化形成的新认知。并在对问题思考的过程中优化新认知、形成新的知识和方法（同一法及辅助线的作法）.

P,Pa，

a

求证：a

问题8：已知，

a，a

求证：a//

研究a与的位置关系只有两种，为学生

从间接去考虑创设情

境.

•请同学用同一法板演证明，教师订正完成

证明全过程.

动脑思考、动手操作、•启发诱导：

讨论问题、解决问题

1.怎样证明线面平行？

2.怎样作辅助线？

•请同学板演证明，教

师订正完成证明全过程.

进一步强化新认知，体会辅助线的做法，形成新旧知识间的联系，优化认知结构. 知识拓展、深化提高

问题9：通过对以上问题的研究，你觉得用面面垂直性质定理证明垂直问题的关键是什么？

问题10：线线垂直、线面垂直、面面垂直的有关定理之间有何联系？

思考并回答：在其中一个平面内找或作交线的垂线.

思考、交流

归纳方法：

“见到面面垂直，立即在一个平面内找（或作）交线的垂线！”

用课件演示关系

对所学知识进行系统的总结，巩固已有认知结构，形成较为完整、稳固的认知系统. 小结新知、画龙点睛

问题11：通过本节课，你学到了什么？你有哪些收获和体会？

总结、交流

•小结：

1.知识

2.方法

3.几种垂直关系的联系与转化

4.立体几何问题的研究方法：直观感知→操作确认→推理证明→形成结论

•布置作业：

1.复习总结、整理垂直通过小结，总结所学知识，提炼所研究问题的思想和方法，最终达成认知目标.

问题的定理和方法，并写在作业纸背面；

2.完成课后作业

六、板书设计

2.3.4平面与平面垂直的性质

面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

猜想1：

猜想2：

猜想1的图形与证明

猜想2的图形与证明

课后作业：

1.下列命题中错误的是（

）

A.

如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

B. 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面

C. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

D. 如果平面平面，平面平面，l，那么l

2.已知两个平面垂直，下列命题：

一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线

一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

其中正确命题的个数是（ ）

A. 3 B.2 C.1 D.0 3.已知平面，，满足，，l，求证：l

4.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，AB2，BC2，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. P（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；

（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.

ADBC