复习参考题第一课时教学设计

第1讲

空间几何体

1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.

热点一

三视图与直观图

1．一个物体的三视图的排列规则

俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．

2．由三视图还原几何体的步骤

一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体．

例1

(1)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(

)

答案

D 解析

所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧(左)视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧(左)视图中体现为

矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，故选D. (2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．

答案

2＋2

2解析

如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，

则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝而四边形AECD为矩形，AD＝1，

∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝由此可还原原图形如图所示．

2＋1. 22. 2

在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，

∴这块菜地的面积为

1S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′

2122＝×1＋1＋×2＝2＋. 222思维升华

空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑．

2＋1，

2

跟踪演练1

(1)(2017·河北省武邑中学模拟)已知某锥体的正(主)视图和侧(左)视图如图，则该锥体的俯视图不可能是(

)

答案

D 解析

A项，该锥体是底面边长为2，高为3的正四棱锥．

B项，该锥体为底面半径为1，高为3的圆锥．

C项，该锥体是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥．

D项，由于该图形不满足三视图原则“宽相等”，所以不可能是该锥体的俯视图，故D项不符合题意．

故选D. (2)(2017·衡阳联考)如图所示，三棱锥V－ABC的底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，侧面VAC与底面ABC垂直，若以垂直于平面VAC的方向作为正(主)视图的方向，垂直于平面ABC的方向为俯视图的方向，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积是(

) A.3

2B.3 D．3 C．23

答案

B 123解析

设三棱锥的高为h，AB＝BC＝2a，则AC＝2a，S正(主)视图＝×2a×h＝23⇒h＝，

2a1a23S侧(左)视图＝ah＝×＝3. 22a故选B. 热点二

几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割

成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．

例2

(1)下图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为(

)

A．48－π

C．48－2π

答案

D 解析

由已知中的三视图可知，该几何体是一个长方体挖掉两个圆锥所得的组合体，所以几1何体的体积为4×4×6－2××π×12×3＝96－2π，故选D. 31(2)(2017·山东)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为4________．

B．96－π

D．96－2π

π答案

2＋

21解析

该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个半径为1，高为1的圆柱体4构成，

1π∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋. 42思维升华

(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．

(2)求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的

直观图，然后根据条件求解．

跟踪演练2

(1)(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

12A.＋π

3312C.＋π

36答案

C 解析

由三视图知，半球的半径R＝2，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，所以212B.＋π

33D．1＋2π

6114122几何体的体积V＝×1×1×1＋×π×3＝＋π，故选C. 323236(2)(2017届云南省师范大学附属中学月考)如图，是某组合体的三视图，则外部几何体的表面积为(

)

A．4π

C．24π

答案

D 解析

组合体为轴截面为等边三角形的圆锥和它的内切球，球的半径为r＝2，圆锥的高为3r＝6，圆锥底面半径为3r＝23，圆锥母线长为23r＝43，所以S圆锥表B．12π

D．36π

＝π(23)2＋12

(2π·23)·43＝36π，故选D. 热点三

多面体与球

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图．

例3

(1)一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为(

)

A．1 0002π

1 0002πC.

3答案

D 解析

由三视图可知该三棱锥为棱长为5,4,3的长方体切去四个小棱锥得到的几何体，

∴该三棱锥的外接球和长方体的外接球相同．

设该三棱锥的外接球半径为R，

52∴2R＝52＋42＋32＝52.∴R＝，

241252π∴外接球的体积为V＝πR3＝，故选D. 33(2)(2017届咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为____________．

答案

3π

54B．1252π

1252πD.

3解析

由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示．

AE＝AB·sin60°＝626，AO＝AE＝，

23323DO＝AD2－AO2＝，

3

11三棱锥的体积VD－ABC＝S△ABC·DO＝，

33设内切球的半径为r，则

11343VD－ABC＝r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)＝，r＝，V内切球＝πr3＝π.

336354思维升华

三棱锥P－ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形

(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A，B，C可作为下底面的三个顶点．

(2)P－ABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．

跟踪演练3

(1)若在三棱锥P－ABC中，

AB＝AC＝1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA1与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(

) 2A．4π

C．16π

答案

A 解析

如图，取BC的中点D，连接AD，PD, ∵AB＝AC，∴AD⊥BC，又∵PA⊥平面ABC，

∴BC⊥PA，又PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAD，过A作AH⊥PD于点H，易知AH⊥平面PBC，

∴∠APD是直线PA与平面PBC所成的角，

AD112∴tan∠APD＝＝，∵AD＝BC＝，∴AP＝2，∵AB，AC，AP相互垂直，

∴以AB，AP222AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P－ABC的外接球，∴三棱锥P－ABC的外接球12＋12＋(2)2的半径为＝1，三棱锥P－ABC的外接球的表面积为4π，故选A. 2(2)(2017届石家庄质检)四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是(

) 99A．6

B．5

C.

D.

24答案

D 解析

由题意知，四棱锥P－ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上，过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE，PF是斜高，G为球面与侧面的切点．设PH＝h，易知Rt△PGO∽Rt△PHF，OGPO所以＝，

FHPFh－119即＝2，解得h＝，故选D. 34h＋32B．8π

D．32π

真题体验

1．(2017·北京改编)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________．

答案

10 解析

由三视图画出如图所示的三棱锥P－ACD，过点P作PB⊥平面ACD于点B，连接BA，BD，BC，根据三视图可知，底面ABCD是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，

11所以V三棱锥PACD＝××3×5×4＝10. 322．(2017·全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．

答案

14π

解析

∵长方体的顶点都在球O的球面上，

∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．

设球的半径为R，

则2R＝32＋22＋12＝14. ∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×142＝14π.

23．(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S—ABC的体积为9，则球O的表面积为________．

答案

36π

解析

如图，连接OA，OB. 由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径知，OA⊥SC，OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC知，OA⊥平面SCB. 设球O的半径为r，则

OA＝OB＝r，SC＝2r，

∴三棱锥S－ABC的体积

11r3V＝××SC×OB×OA＝，

323r3即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.

34．(2017·江苏)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及V1母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是V2________．

3答案

2解析

设球O的半径为R，

∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，

∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R. V1πR2·2R3∴＝＝. V2432πR3押题预测

1．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为(

)

A．16

C．22＋26＋8

B．82＋8 D．42＋46＋8 押题依据

求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点．此类题常以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积．

答案

D 解析

由三视图知，该几何体是底面边长为22＋22＝22的正方形，高PD＝2的四棱锥P－ABCD，因为PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，

易得BC⊥PC，BA⊥PA，

又PC＝PD2＋CD2＝22＋222＝23，

1所以S△PCD＝S△PAD＝×2×22＝22，

21S△PAB＝S△PBC＝×22×23＝26. 2所以几何体的表面积为46＋42＋8. 2．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为(

) A．6π

C．32π

B．12π

D．36π

押题依据

灵活运用正三棱锥中线与线之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点．

答案

B 解析

因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理SA⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB＝22，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝3×22＝12，

所以球的表面积S＝4πR2＝12π，故选B. 3．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．

押题依据

求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积．本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注．

答案

42

3解析

如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S＝r2＋1－r22πr×21－r＝4πr1－r≤4π×＝2π(当且仅当r2＝1－r2，222即r＝2时取等号)．

24π×133V球242所以当r＝时，＝＝. 23V圆柱22π×22

A组

专题通关

1．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(

)

答案

B 解析

由直观图可知，该几何体是由一个长方体和一个截角三棱柱组合而成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接着两个三角形．

2．(2017届太原模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为(

)

A．33

C.21

答案

B 解析

如图所示，在长、宽、高分别为3,4,2的长方体中，三视图表示的是如图所示的四棱锥P－ABCD，其最长的棱为BP＝22＋22＋42＝26 .故选B. B．26 D．25

3．(2017·日照模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

9＋3A.π

63＋3C.π

6答案

A 1解析

根据三视图可知，原几何体表示上部为底面圆半径为1，高为3的圆锥的，下部为底231133π面圆半径为1，高为2的圆柱的，故该几何体的体积为V＝V1＋V2＝×πr2h1＋×πr2h2＝423463＋93π＋＝π.

264．(2017届四川省泸州市四诊)某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是A′B′C′，如图(2)所示，其中O′A′＝O′B′＝2，O′C′＝3，则该几何体的表面积为(

) 6＋3B.π

612＋3D.π

6

A．36＋123

C．24＋123

答案

C 解析

由图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为23的等腰三角形，即该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为4,23，6，三视图还原为几何体是图中的三棱锥P－ABC，且S△PAB11＝S△PBC＝×4×6＝12, S△ABC＝×4×23＝43，△PAC是腰长为52，22底面边长为4的等腰三角形，

S△PAC＝83.综上可知，该几何体的表面积为2×12＋43＋83＝24＋123.故选C. 5．(2017届玉林、贵港质检)网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程．某同学有一圆锥状的木块，想把它“车成珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12 cm，体积为96π cm3，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是(

) A．36π cm3

C．9π cm3

答案

A 1解析

由题可令圆锥的高为x cm，可得π·62·x＝96π，则x＝8，由底面直径为12，得母线长311为10，可设轴截面的内切圆半径为r，由×12×8＝×(10＋10＋12)r，可得r＝3.那么珠子224的体积最大值为π·33＝36π (cm)3.故选A. 36．(2017·哈尔滨师范大学附属中学模拟)已知三棱锥P—ABC的四个顶点均在同一个球面上，π底面△ABC满足BA＝BC＝6，

∠ABC＝，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的2体积为(

) A．8π

16πC.

3答案

D B．16π

32πD.

3B．12π cm3

D．72π cm3

B．24＋83 D．36＋83

1解析

因为△ABC是等腰直角三角形，所以外接圆的半径是r＝×122＝3，设外接球的半径是R，球心O到该底面的距离为d，如图，则S△ABC111＝×6＝3，BD＝3，由题设V＝S△ABC·h＝×3h＝3，最大体积对应233的高为PD＝h＝3，故R2＝d2＋3，即R2＝(3－R)2＋3，解得R＝2，所以432π外接球的体积是πR3＝，故选D. 337．(2017届石家庄模拟)三棱锥S－ABC中，侧棱SA⊥底面ABC, AB＝5, BC＝8, ∠B＝60°，

SA＝25，则该三棱锥的外接球的表面积为(

) 64A.π

3436C.π

3答案

B 解析

由题意知，侧棱SA⊥底面ABC, AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则根据余弦定理可得

AC＝152＋82－2×5×8×＝7,

2256B.π

32 0483D.π

27AC77△ABC的外接圆圆心2r＝＝∴r＝，三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离dsin B3321＝SA＝5，则外接球的半径R＝2256S＝4πR2＝π.

38．如图所示，图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为________．

72＋(5)2＝364，则该三棱锥的外接球的表面积为3

答案

140π

31解析

由题意知，旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，其中圆台的体积为V＝3156π1416π×(π×22＋π×22×π×52＋π×52)×4＝，半球的体积V＝××π×23＝，则所求体3233156π16π140π积为－＝. 333

1629．体积为的正四棱锥S—ABCD的底面中心为O，SO与侧面所成角的正切值为，那么32过S—ABCD的各顶点的球的表面积为________．

答案

16π

解析

如图，取AB的中点为F，连接SF，过点O作OG⊥SF，则∠OSGOF2为SO与侧面所成的角，且tan∠OSG＝＝.设AB＝2a，则SO＝2SO2116a，所以×4a2×2a＝，得a＝2.延长SO交外接球于E，则EB⊥SB，33由OB2＝SO·OE，得4＝2·(2R－2)，

所以R＝2，S＝4π×22＝16π.

10．(2017·天津市第一中学月考)某几何体的三视图如图所示(单位：

cm)，则该几何体的体积为________ cm3.

3答案

6＋π

2解析

由三视图还原几何体如图所示，

该几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，

半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形，直角边为2，高为3. 113所以V＝×2×2×3＋×π×12×3＝6＋π.

222

11.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为线段A1B1的中点，点F，G分别是线段A1D与BC1上的动点，当三棱锥E－FGC的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正(主)视图的面积是________．

答案

2 解析

由题意知，E点在底面的射影E′为AB的中点，F点在底面的射影F′在AD上，G点在底面的射影G′在BC上，三棱锥E－FGC的俯视图的面积是以E′C为底边，F′，G′到E′C的距离和为高的三角形的面积，又E′C为定值，所以当F点与D点重合，G点与1B点重合时面积最大，此时正(主)视图的面积为×2×2＝2. 212．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且AB＝5，BC＝7，AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积是______．

答案

8π

解析

如图PA, PB, PC两两垂直，设PC＝h，

则PB＝BC2－PC2

＝7－h2，

PA＝AC2－PC2＝4－h2，

∵PA2＋PB2＝AB2，

∴4－h2＋7－h2＝5，

解得h＝3，在三棱锥P－ABC中，

PA, PB, PC两两垂直，且PA＝1, PB＝2，PC＝3，

∴以PA, PB, PC为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥P－ABC的外接球，

∴由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球的半径为R＝1＋4＋3＝2，

2∴外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×(2)2＝8π.

B组

能力提高

13．四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为(

)

A.81πB.81π5

20

C.101π5

D.101π20

答案

C 解析

根据三视图还原几何体为一个四棱锥P－ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，由于△PAD为等腰三角形，PA＝PD＝3，AD＝4，四边形ABCD为矩形，CD＝2，过△PAD的外心F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂线，两条垂线交于一点O，O为四棱锥外接球的球心，在三角形PAD中，cos∠APD＝32＋32－422×3×3＝19，

则sin∠APD＝459

,2PF＝ADsin∠APD＝445＝955

，PF＝9510

，

9PE＝9－4＝5 ，OH＝EF＝5－9510＝510

，

BH＝1216＋4＝5，

OB＝OH2＋BH2＝

5100＋5＝50510

，

S＝4π×505100＝101π5.故选C. 14．如图是某组合体的三视图，则内部几何体的体积的最大值为(

A.52(2－1)π

B.254(3－22)π

C．25(3－22)π

D.1256(52－7)π

答案

D )

解析

内部几何体是底面为直角三角形的直三棱柱的内切球，内切球的半径即为底面直角三abab角形内切圆的半径，由等面积法易得r＝，且a2＋b2＝25.由基本不等式，知r＝a＋b＋5a＋b＋5a2＋b225ab5252≤，

0

f(t)＝＝＝22t＋52t＋5521＋12－12＋5ttt552t(t＋5)52t25252所以f(t)＝在0，上是增函数，所以rmax＝f(t)max＝f ＝2>0, 0

AB⊥AC, AB⊥AP, AB＝2, AP＋AC＝4，则该三棱锥的体积V的取值范围是____________．

40，

答案

312解析

由于AB⊥AP，AB⊥AC，AC∩AP＝A，∴AB⊥平面APC, V＝S△APC·AB＝S△APC

，在33△APC中，AP＋AC＝4，所以AP·AC≤AP＋AC21＝4，所以S△APC＝·AP·AC·sin∠PAC≤

2212sin∠PAC，要使△APC面积最大，只需AP＝AC，∠PAC＝90°，

S△APC的最大值为×2×224140，. ＝2, V的最大值为×2×2＝，该三棱锥的体积V的取值范围是33316.如图所示，三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，

D是线段AB的中点，

DE∩PB＝E，且DE⊥AB，若∠EDC333＝120°，PA＝，PB＝，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积22为________．

答案

13π

解析

在三棱锥P－ABC中，

△ABC是边长为3的等边三角形，设△ABC的外心为O1，外接圆的半径O1A＝3333＝3，在△PAB中，

PA＝，PB＝，AB＝3，满足PA2＋PB2＝2sin60°22AB2，所以△PAB为直角三角形，

△PAB的外接圆的圆心为D，由于CD⊥AB，ED⊥AB, ∠EDC＝120°为二面角P－AB－C的平面角，分别过两个三角形的外心O1，D作两个半平面的垂线交于点O，则O为三棱锥P－ABC的外接球的球心，

在Rt△OO1D中，

∠ODO1＝30°，DO1＝3，

2

32O1D3132则cos30°＝＝，OD＝1，连接OA，设OA＝R，则R2＝AD2＋OD2＝＋1＝，

S球2OD2OD413＝4πR2＝4π×＝13π.

4