3.2.2 直线的两点式方程名师教学设计1

3.2.2

直线的两点式方程

教学设计

教学分析

本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形.直线方程的两点式可由点斜式导出。若已知两点恰好在坐标轴上（非原点），则可用两点式的特例截距式写出直线的方程.由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式。但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式。

教学目标

1、知识与技能

（1）让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程；

（2）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；

（3）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）培养学生用联系的观点看问题，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。 教学重点、难点：

1、重点：直线方程两点式和截距式。

2、难点：两点式推导过程的理解，以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形。

课时安排

1课时

教学过程

（一）导入新课

1、复习回顾：前面我们学习了直线方程的哪些形式？垂直于坐标轴的直线方程怎么表示？

2提出问题：大家都知道：两点确定一条直线！那么经过两个定点的直线的方程能否用“公式”直接写出来呢？

我们先来看一个具体的例子：已知直线l经过A（1，3）和B（2，4）两点，求直线的方程．

（二）讲授新课

1、新知探究

已知直线l经过A（1，3）和B（2，4）两点，求直线的方程．

解法一：待定系数法

解：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0）

由已知得：3kbk1，解方程组得：. 42kbb2所以，直线l的方程为：

y=x+2.

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解法二：点斜式方程

解：由斜率公式得直线l的斜率为：k431，

21再由直线的点斜式方程得，直线l的方程为：y

－

3 = x

－1，

即直线l的方程为：

y=x+2. 问题1：还有其他的方法吗？

解法三：斜率相等

解：设P（x，y）为直线l上不同于A ，B的动点，

由于P、A、B在同一直线上，所以根据斜率相等可得：kPA=kAB，即y343，

x121整理，得：y=x+2. 故直线l的方程为：

y=x+2. 提出问题：已知两点P1（x1

，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2），如何求出通过这两点的直线方程呢？

活动：

①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程。师生共同归纳：

已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：

a.

利用直线的斜率公式求出斜率k；

b.

利用点斜式写出直线的方程. 解：设点P（x，y）是直线上不同于P1

，

P2的点．

因为kPP1kP1P2，

所以yy1y2y1

xx1x2x1即直线的方程为：yy1xx1. y2y1x2x1yy1xx1（x1≠x2且y1≠y2）叫做经过两点P1（x1

，y2y1x2x1（1）直线的两点式方程：方程y1），P2（x2，y2）的直线的两点式方程，简称两点式. 记忆特点：①左边全为y，右边全为x；

②两边的分母全为常数；

③两边分子，分母中的减数分别相同. 问题2：是否已知任一直线上的两点就能用两点式yy1xx1写出直线方程呢？

y2y1x2x1当x1＝x2或y1= y2时，直线P1P2没有两点式方程. （因为x1＝x2或y1= y2时，两点式方程的分母为零，没有意义）

问题3：两点式公式运用时应注意什么？

两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线的方程。

问题4：若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）中有x1= x2，或

y1= y2，此时过这两点的直线方程

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是什么? 当x1=x2时，直线方程为：x=x1或x=x2

当y1= y2时，直线方程为：y=y1或y=y2

2、新知应用

【课堂练习一】：97页练习1 1.

求经过下列两点的直线方程：

（1）P1（2，1），P2（0，－3）；

（2）A（0，5），B（5，0）.

【例题讲解】：

例1：已知直线l与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点为B（0，b），其中a≠0，b≠0，求这条直线l的方程. 解：将A（a，0），B（0，b）的坐标代入两点式，得：

（2）直线的截距式方程：方程y0x0xy，即1. b00aabxy1（a≠0，b≠0）叫做直线的截距式方程，简称截距ab式. 问题5：a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？

a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距。

问题6：截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？

截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式。

截距式的适用条件：截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 【课堂练习二】：

2. 根据下列条件，求直线的方程，并画出图形：

（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；

（2）在x轴上的截距是－5，在y轴上的截距是6.

【例题讲解】：

例2：三角形的顶点是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.

（3）线段中点的坐标公式

若点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且线段P1P2的中点为M（x，y），则

x1x2x2

yy1y22

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【课堂练习三】：

3. 根据下列条件，求直线的方程：

（1）过点（0，5），且在两坐标轴上的截距之和为2；

（2）过点（5，0），且在两坐标轴上的截距之差为2. 【例题讲解】：

例3：求经过点P（－5，4），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【巩固练习】

1.

下列说法中，正确的是（

）

A. 经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程

y－y0=k(x－x0)表示

B. 经过任意两个不同点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)=(x－x1)(y2－y1)表示

C. 不经过原点的直线都可以用方程xy1表示

abD. 经过定点的直线都可以用方程

y=kx+b表示

2. 若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，－1），则直线l的斜率为（

）

A. 1132

B. 

C. 

D.

33233. 直线ax+by=1（ab≠0）与两坐标轴围成的面积是_____ . 4. 设直线l的方程为(a+1)x+y+2－a=0（a∈R）. 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 3、课堂小结

（1）两点式、截距式、中点坐标公式。

（2）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？

（3）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

4、课后作业

P100

习题3.2

A组

第1题

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