3.1.3 空间向量的数量积运算第一课时教学设计

湖州第一中学

高二数学导学案

班级 姓名________ 使用时间______年______月______日 课 3.1.3空间向量的数量积运算

题

教 学 互 动 导

案

学

习

目

标

目标

1.了解空间向量夹角的概念及表示方法．

识记

理解

1

1 应用

1

导学

2.掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．

3.能将立体几何问题转化为向量运算问题．

重点

重(难)点：利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：

①证明两直线垂直; ②求两点之间的距离或难点

线段长度;③证明线面垂直;④求两直线所成角的余弦值等等. 一、

新知提炼——您学了？

1．空间向量的夹角

定义

记法

范围

→→已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角

π通常规定，

≤〈a，b〉≤

，当〈a，b〉＝时，a⊥b

22.空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则

叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律

(λa)·b＝λ(a·b)

交换律

a·b＝b·a

分配律

a·(b＋c)＝a·b＋a·c

(3)数量积的性质

(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0

(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；

两个向量数量积的若反向，则a·b＝－|a|·|b|；

特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a

性质

(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝

(4)|a·b|≤|a|·|b| 二、课前热身——您会了？

(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(

) (2)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等．(

) (3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(

) (4)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(

) 2．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(

) →→→→→→→→A．AB与A′C′

B．AB与C′A′

C．AB与A′D′

D．AB与B′A′

3．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝(

) A．－2

B．－1

C．±1

D．2 π4．已知向量a，b满足|a|＝1，且a·b＝2，a与b的夹角为，则|b|＝________．

35．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．

第1页

二、师生探学、合作互学——您懂了？ 自学课本：P90-92

探究点一

空间向量的数量积运算

【例１】已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．

求下列向量的数量积．

→→→→(1)BC·ED1；(2)BF·AB1.

→→

[变问法]若本例的条件不变，计算EF·FC1.

变式训练1:如图，已知正四面体OABC的棱长为1. →→→→→→求：(1)OA·OB；

(2)(OA＋OB)·(CA＋CB)．

探究点二

利用向量的数量积判断或证明垂直问题

【例2】如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，

且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求证：CA1⊥B1D1.

变式训练2:

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，

求证：A1G⊥平面DEF.

探究点三

利用空间向量的数量积求夹角

【例3】如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC的夹角的余弦值．

第2页

变式训练3:

已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，

→→求向量OE与向量BF所成角的余弦值．

探究点四

利用数量积求两点间的距离

【例4】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．

变式训练4:如图，在120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，则线段CD的长应为________．

三、总结思学：总结提炼、课堂内化——您思了？

四、在线测学

1．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，则a·b＝(

) A．1

B．2

C．3

D．4 2．已知|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则|a＋3b|＝(

) A．7

B．10

C．13

D．4 3．若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝________．

4．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则向量a与b

的夹角为________．

五、作业检学

[基

础

练]扣教材

练双基

一、选择题

1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(

) A．－6

B．6

C．3

D．－3 →→2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为(

) 113A．a2

B．a2

C．a2

D．a2

2443．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是(

) →→→→→→→→A．PC与BD

B．DA与PB

C．PD与AB

D．PA与CD

4.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(

) A．62

B．6 C．12

D．144 →→→→→5．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC是(

) A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．等边三角形

第3页

→→→→→→6．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝________．

7．如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1→→＝60°，E为棱C1D1的中点，则AB·AE＝________．

8.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．

→9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设AB＝→→a，AC＝b，AA1＝c. →(1)试用a，b，c表示向量MN；

(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．

10．直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

[能

力

练] 扫盲区

提素能

11．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(

) A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

12．在三棱锥O-ABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF＝________．

13．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.

(1)求证：CC1⊥BD；

CD(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．

CC1

14．(选做题)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为

2. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；

π(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．

3

自我反思：

1.

你觉得你本节课的效率怎样（给自己划个分数，写出需改进的地方）？

2.

本节课你从知识，方法方面学到了什么？

第4页

作业检学参考答案：

[基

础

练]扣教材

练双基

一、选择题

1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(

) A．－6

B．6 C．3

D．－3 解析：选B.由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，

|e1|＝|e2|＝1，

所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，

所以2k－12＝0，

所以k＝6. →→2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为(

) 1A．a2

B．a2

213C．a2

D．a2

44→→解析：选C.AE·AF

1→→1→＝(AB＋AC)·AD

221→→→→＝(AB·AD＋AC·AD)

41111＝(a×a×＋a×a×)＝a2. 42243．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是(

) →→→→A．PC与BD

B．DA与PB

→→→→C．PD与AB

D．PA与CD

→→解析：选A.可用排除法．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，PA·CD＝0，排除D.

又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，

→→所以DA·PB＝0，

→→同理PD·AB＝0，排除B，C，故选A. 4.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(

)

B．6 D．144 →→→→→→→→→→→→→→解析：选C.因为PC＝PA＋AB＋BC，所以PC2＝PA2＋AB2＋BC2＋2PA·AB＋2PA·BC＋2AB·BC＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12. →→→→→5．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC是(

) A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．等边三角形

→→→→→→→→→解析：选B.因为DB＋DC－2DA＝(DB－DA)＋(DC－DA)＝AB＋AC，

→→→→→→所以(AB＋AC)·(AB－AC)＝|AB|2－|AC|2＝0，

→→所以|AB|＝|AC|，

第5页

A．62

C．12

即△ABC是等腰三角形．

→→→→→→6．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝________．

→→→→→→→解析：原式＝AB·CD＋BC·AD＋CA·(AD－AB)

→→→→→→＝AB·(CD－CA)＋AD·(BC＋CA)

→→→→＝AB·AD＋AD·BA＝0.

答案：0 7．如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱→→C1D1的中点，则AB·AE＝________．

→→→1→解析：AE＝AA1＋AD＋AB，

21→→→→→→1→2AB·AE＝AB·AA1＋AB·AD＋AB＝4×3×cos 60°＋0＋×42＝14.

22答案：14 8.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．

→→→→→1→解析：不妨设棱长为2，则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，

2→→→1→（BB1－BA）·（BC＋BB1）2→→cos〈AB1，BM〉＝

22×50－2＋2－0→→＝＝0，所以〈AB1，BM〉＝90°.

22×5答案：90°

→9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设AB＝→→a，AC＝b，AA1＝c.

→(1)试用a，b，c表示向量MN；

(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．

→→→→解：(1)MN＝MA1＋A1B1＋B1N

1→→1→＝BA1＋AB＋B1C1

3311＝(c－a)＋a＋(b－a)

33111＝a＋b＋c.

333第6页

(2)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c

11＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，

22所以|a＋b＋c|＝5，

5→1所以|MN|＝|a＋b＋c|＝，

335即MN＝. 310．直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

→→→解：设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，

根据题意得|a|＝|b|＝|c|，

a·b＝b·c＝c·a＝0.

111→→(1)证明：易知CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a.

22211→→所以CE·A′D＝－c2＋b2＝0.

22→→所以CE⊥A′D，即CE⊥A′D.

→→(2)易知AC′＝－a＋c，所以|AC′|＝2|a|，

1→又CE＝b＋c，

25→所以|CE|＝|a|，

2→→b＋1c＝1c2＝1|a|2，

所以AC′·CE＝(－a＋c)·22212|a|210→→所以cos〈AC′，CE〉＝＝.

52102·|a|210即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. 10

[能

力

练] 扫盲区

提素能

11．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(

) A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

→→→→→→→→→→解析：选C.根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得AC·CD＝DB·CD＝0，所以AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝→→AB·CD1→→→2→→→2→→AC·CD＋|CD|＋DB·CD＝|CD|＝1，所以cos〈AB，CD〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°. →→2|AB||CD|12．在三棱锥O-ABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF＝________．

1→→→→1→→解析：因为EF＝OF－OE＝(OB＋OC)－OA，

221→→→→所以|EF|2＝(OB＋OC－OA)2

41→2→2→2→→→→→→＝(OB＋OC＋OA＋2OB·OC－2OB·OA－2OC·OA)．

4→→→又由已知得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，

第7页

1→→→→→→OA⊥OB，OA⊥OC，OB·OC＝2×2×＝2，

21→所以|EF|2＝(4＋4＋4＋4)＝4.

4→所以|EF|＝2，即EF＝2.

答案：2 13．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD. (1)求证：CC1⊥BD；

CD(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．

CC1→→→解：(1)证明：设CD＝a，CB＝b，CC1＝c.

→→→由题意得|a|＝|b|，BD＝CD－CB＝a－b.

→→→CD，CB，CC1两两夹角的大小相等，设为θ，

→→于是CC1·BD＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c|·|a|cos θ－|c|·|b|cos θ＝0，

所以CC1⊥BD.

(2)要使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥BD，A1C⊥DC1.

→→→→→→由CA1·C1D＝(CA＋AA1)·(CD－CC1)＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－c2＝|a|2－|c|2＋|b|·|a|cos θ－|b|·|c|cos θ＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cos θ)＝0，得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1.

而由(1)知CC1⊥BD，又显然BD⊥AC，所以BD⊥平面ACC1A1，所以A1C⊥BD.

CD综上可得，当＝1时，A1C⊥平面C1BD. CC114．(选做题)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为

2. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；

π(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．

3

→→→→→→解：(1)证明：AB1＝AB＋BB1，BC1＝BB1＋BC.

因为BB1⊥平面ABC，

→→→→所以BB1·AB＝0，BB1·BC＝0.

又△ABC为正三角形，

π2π→→→→所以〈AB，BC〉＝π－〈BA，BC〉＝π－＝.

33→→→→→→→→→→→2→→因为AB1·BC1＝(AB＋BB1)·(BB1＋BC)＝AB·BB1＋AB·BC＋BB1＋BB1·BC

→→→→→2＝－1＋1＝0，

＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋BB1所以AB1⊥BC1.

→→(2)结合第一问知AB1·BC1

→→→→→2＝→2－1.

＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＋BBBB11第8页

→又|AB1|＝

→→2＝|BC（AB―→＋BB1―→）2＝

2＋BB1|. 1→2BB1－11→→所以cos〈AB1，BC1〉＝＝，

→222＋BB1→所以|BB1|＝2，即侧棱长为2.

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