3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学活动设计方案

一. 教学内容解析

本课是解析几何的起始课，主要内容是直线的倾斜角、斜率的概念及斜率公式。解析几何的本质是将几何问题代数化并用代数方法来研究几何问题，其基本思想是在同一直角坐标系下，点与坐标一一对应；曲线与其方程f(x,y)=0一一对应；根据曲线满足的几何条件，建立它的方程，通过方程（利用代数运算）研究曲线的性质。

二．教学目标

一、知识与技能

1．理解直线的倾斜角与斜率的概念。

2．掌握倾斜角与斜率的对应关系。

3．掌握过两点的直线的斜率公式。

二、过程与方法

通过对确定直线位置的几何要素的探究引入直线倾斜角的概念；通过日常生活中“坡度”概念的迁移获得直线斜率的概念；通过对正切诱导公式和函数图象的回忆得到倾斜角与斜率的对应关系；通过对两点确定直线的再思考引出过两点的直线的斜率公式。

三、情感态度价值观

通过倾斜角与斜率的对应关系的探讨，强化学生分类讨论问题的思想和意识；通过斜率概念的建立和过两点的直线斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，带领学生初步尝试用代数方法解决几何问题。

三．学情分析

在初中，学生们已经学过一次函数y=kx+b(k≠0)，这个函数解析式里面的k其实就是我们这里要讲的斜率，此外，学生们也学***面几何中的直线，这些预备知识为本节课提供了一定的认知基础。在函数部分学习中，我们已经渗透过数形结合的思想，但学生对数形结合的认识仅停留在借助图形图象解决代数问题的层面。因此，用代数方法研究几何问题的思想和方法学生们接触的很少，有些难想到，在探究过两点的直线斜率公式时，应多做引导和启发。

四．重点难点

教学重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式。

教学难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系，过两点的直线的斜率公式的推导。

五．教学过程

一、开篇语

引导性语言：数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微。”，强调了数形结合的重要性。在以前的学习中，我们常常借助几何直观解决代数问题，反过来，用代数方法也可以解决几何问题，这个学科叫做解析几何。它是由17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。

解析几何的基本思想是通过建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线（包括直线），通过方程研究几何性质，用计算求解证明几何问题。

二、课题引入

引导性语言：我们先研究直角坐标平面内最简单的图形——直线。为此，我们先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数的方法把几何要素表示出来。

三、新知探究

活动一：直线的倾斜角

问题1：在同一坐标系中画出了一次函数y=x+1,y=2x+1,y= -x+1的图象，它们的图像有何联系与区别？

师生活动：引导学生发现三条直线均过点(0,1)，但倾斜程度不一样，进而回顾旧知：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。

问题2：只经过其中一点（如点（0,1））可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，有哪些方法？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到再需要有一个点或者一个角）

由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式

（1）已知直线上两点

（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度

因为两点可以确定直线的方向，所以可将上述两种方式和并为：一个点和一个角

问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）

以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。

问题4、过点P与x轴形成450角的直线有几条？

如何区分清楚这两条直线呢？估计学生能想到还需要确定方向。选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？

（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分l1与l2）。

师生活动：引导学生把重点放在“如何描述直线倾斜程度”的问题上，启发学生发现可以用直线与x轴夹角来描述直线的倾斜程度，促成概念的形成。师生共同给出倾斜角的概念：

直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。

问题5：直线在平面直角坐标系中有几种位置关系？

ylPOx

0°<α＜90°

α=90°

90°<α＜180°

α=0°

【设计意图】让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

规定：当直线与x轴平行或重合时，α=0°。

于是，直线倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°。

练习1 判断正误

①直线确定，则倾斜角确定；（√）

②倾斜角确定，则直线确定；（×）

结论：确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素是：一个定点以及它的倾斜角。平面直角坐标系中的每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应

活动二：直线的斜率

引导性语言：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么，如何用代数语言描述上述几何要素呢？先思考下面一个问题。

【设计意图】告知目标，明确思维方向，将几何要素代数化。

问题6：我们在生活中，骑车或步行都爬过山、爬过坡，陡的坡感觉比较难爬，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）

坡度(比)升高量

（即坡角的正切值）

前进量当坡角增大时，坡度如何变化？

坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

师生活动：通过类比，引导学生把“坡度”这个刻画倾斜程度的量与直线倾斜角联系起来，从而引入“斜率”这一概念。

直线的斜率：把一条直线倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率（slope），通常用小写字母k表示，即k=tanα(α≠90°)。

练习3 填表：

倾斜角α

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

斜率k

结论：倾斜角为90°的直线斜率不存在。

【设计意图】使学生学会倾斜角与斜率的互换，明确“倾斜角为90°的直线斜率不存在”，学会求倾斜角是钝角时的直线斜率。

问题7：请同学们借助正切函数的图象，思考倾斜角α与斜率k有何关系？

【设计意图】沟通数形关系，加深概念理解，让学生明确倾斜角与斜率的关系，体会倾斜角与斜率的内在联系。

师生活动：引导学生回忆

的图象，结合

在区间

上的图象总结出斜率与倾斜角之间的关系。

倾斜角α与斜率k的关系

当α=0°时,k=0；

当0°＜α＜90°时,k＞0，倾斜角越大,斜率也越大；

当90°＜α＜180°时,k＜0，倾斜角越大,斜率也越大；

当α=90°时,k不存在，即倾斜角是90°的直线没有斜率。

k的范围是全体实数，直线越靠近y轴，斜率的绝对值越大。

练习4 判断正误

①与x轴平行或重合的直线没有斜率；（×）

②直线的倾斜角为α，则它的斜率为tanα；（×）

③直线斜率为tanα，则它的倾斜角为α；（×）

④直线的倾斜角越大,则它的斜率也越大。（×）

⑤直线确定，倾斜角唯一确定，斜率也唯一确定。（

）

⑥斜率确定，直线的倾斜角是也唯一确定。

活动三：过两点的直线的斜率公式

问题8：两点确定一条直线，直线确定，则倾斜角确定，倾斜角确定，则斜率确

定。那么，你能用直线上两点的坐标来表示该直线的斜率k吗？

若已知点A (3,1)，B(5,1), C(7,1)，D(6,5)，试求直线AB，AC，AD的斜率

【设计意图】让学生自己探索发现直线的斜率可以用直线上两点坐标来表示，只要找到倾斜角的正切与坐标的关系。

问题9、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)且x1x2，能否用P1,P2的坐标来表示直线斜率k？

（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1,P2及直线PP12，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

0解：设直线PP12倾斜角为（90）当直线PP12方向向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为(x2,y1)

（1）当为锐角时，QP1P2，x1x2，y1y2，在RtP1P2Q中，

tantanQP1P2QP2P1Qy2y1

x2x1（2）当为钝角时，180（设QP，x1x2，y1y2

1P2=）tan=tan(180)tan，在l1,l2RtP1P2Q中，

tanQP2QP1y2y1yy1yy12（可让学生分组推导）

tan2x2x1x2x1x2x1同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tany2y1，即x2x1

ky2y1

x2x1思考：(1)如果直线P1P2平行于x轴，或与x轴重合时，上述结论还适用吗?为什么?

(2)如果直线P1P2平行于y轴，或与y轴重合时，上述结论还适用吗?为什么?

(3)如果某倾斜角为60°的直线l上有任意两点A(a1,a2)，B(b1,b2)，式子是定值吗?为什么?

【设计意图】通过进一步思考和讨论，完善两点斜率公式。

师生活动：引导学生思考、讨论，检验得到：斜率公式与P1、P2两点的顺序无关；当直线与x轴平行或重合时，斜率公式仍然适用；而直线与y轴平行或重合时斜率公式不适用。总结两点斜率计算公式。

过两点的直线的斜率公式：

ky2y1

x2x1使用时需注意：

(1)当直线与x轴平行或重合时，k=0；

(2)当直线与y轴平行或重合时，k不存在；

(3)直线斜率k可以直接由直线上两点的坐标求得；

(4)直线的斜率与两点的位置无关，使用时需注意对应。

课本例题

五、课堂小结

1.在本节课中，你学到了哪些新的概念？它们之间有什么关系？

2.如何求出已知两点的直线的斜率？

3.从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中体现了什么样的数学思想？

师生活动：请学生进行总结，教师适当补充，和学生一起归纳刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（数）和斜率（形），利用确定直线的两种方法，归纳出斜率求解的两个计算公式。在倾斜角和直线的相互转化中让学生体会数形结合的数学思想，初步体会“坐标法”解决解析几何问题的基本方法。