小结教学设计及教案分析

曲线的轨迹方程的求法

一、教学目标

（1）使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法。

（2）通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力。

（3）通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础。

二、教学重难点

1、重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法。

2、难点：各种方法的灵活运用。

三、教学工具

（1）教师自制的多媒体课件

、三角板，圆规

（2）上课环境为多媒体大屏幕环境

四、教学方法

数形结合、合作探究

五、教学过程

1、高考导向。求的轨迹方程是解析几何的的基本问题，是高考中的一个热点和重点，近几年高考试题中以综合问题出现较多。

2、诊测补偿

（1）解析几何要要解决的两个基本问题是什么? （2）什么是动点的轨迹? （3）求动点的轨迹方程的常用方法

有哪些? 3、求曲线方程的步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件p的点M的集合P={M︱p（M）}；

（3）用坐标表示条件p（M）,列出方程f（x,y）=0；

（4）化方程f（x,y）=0为最简形式；

（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

4、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法（待定系数法、相关点法、参数法。

题型一 直接法求曲线方程

例1

△ABC的两个顶点坐标分别是A(-5，0)，B(5，0)，边AC,BC所在直线的斜率之积等于-9，求顶点C的轨迹方程。

25解：设顶点C的坐标为（x,y）则有，

kACyy(x5),kBC(x5)

x5x5由题意知yy9

x5x52522x2y21(x5)

化简得9x25y2590，即259练习1

已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1:2的点的轨迹,则此曲线的方程是______________. 1解析：(x3)2y222平方化简得：（x1）y24x2y2

题型二 利用定义求曲线方程

分析题设几何条件，根据所学曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.

例2

已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程. （1）△PAB的周长为10；

（2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）；

（3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.

【分析】根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲线类型，最后写出曲线方程. （1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6. （2）|PA|-|PB|=1. （3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点到A的距离等于P点到直线x=2的距离. 解：(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，

即|PA|+|PB|=6＞4=|AB|，故P点的轨迹是椭圆，

且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b=5

，

x2y2195 因此其方程为（y≠0）. （2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，

因此|PA|-|PB|=1. 由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，

且2a=1，2c=4，即a= 因此其方程为

115 ,c=2,b=

，

22

4y214x1(x)152

2（3）依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4. ∴方程为y2=-8x. 2练习2 已知圆A的方程为（x3）y264，B（3,0）为一定点，M为圆A上的一个动点，线段MB的中垂线和直线AM的交点为P，N为垂足，求动点P的轨迹方程。

15M10N5P-30-20-10A-5B10-10

解：有已知可得PMPB,且PMPAAM,，

AM4，AB6又

PAPMPAPB8AB点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，

设椭圆的方程为

x2y21(ab0)a2b2由题意得：2a8,2c6b437x2y2点P的轨迹方程为1167222

学后反思 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程: 首先要结合圆锥曲线的定义，分析出曲线的类型，再按定义写出标准方程。

题型三 参数法求曲线方程

如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法中常选角、斜率等为参数.

2（x2）y21交于A、B两点，求AB中点的例3 倾斜角为45的直线与椭圆4轨迹方程。

0

解：设动直线方程为：y=x+b，和椭圆方程联立得：

x2+4y2-4x=0 ①

y=x+b ②

5x2+8bx-4x+4b2=0 设中点M（x，y），则 x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与②联立消去参数b，

得：x+4y-2=0 （椭圆内的一段）

2（x2）y21相交，求弦中点的轨迹方程。

练习3 过原点的直线与椭圆

4

解：设OA斜率为k（k∈R），

由 y=kx x2+4y2-4x=0 得：（1+4k2）x2-4x=0 设中点M（x，y），则

x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2）

k=y/x

消参数得： x2+4y2-2x=0 学后反思

本题运用了参数法求轨迹.当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y，从而得到动点轨迹的参数方程

xftygt

消去参数t，便可得到动点P的轨迹方程.其中应 注意方程的等价性和参数t与动点P(x,y)关系的密切性. 5、小结

（一）求动点的轨迹方程的常用方法

直接法

当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,可用直接法. 定义法

分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，

直接求出该曲线的方程. 参数法

如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法中常选角、斜率等为参数.

（二）注意

（1）.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要 “多退少补”,多余的点要剔除,不足的点要补充. （2）.注意“求轨迹”和“求轨迹方程”的区别. （3）.如何合理引参？

五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等