1.2.1 充要条件评课稿

1.2.2

充要条件

学习目标：

1.结合具体实例，理解充要条件的意义．

2.会求(判断)某些问题成立的充要条件．

3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明

教学过程：

一、课前复习

一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

二、新课讲解

1、入门问答

已知p：整数x是6的倍数；

q：整数x是2和3的倍数．

问题1：“若p，则q”是真命题吗？

提示：是．

问题2：“若q，则p”是真命题吗？

提示：是．

问题3：p是q的什么条件？

2、结论

如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件．简称p是q的充要条件，记作p⇔q. 3、总结

1．如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件．

简称p是q的充要条件，记作p⇔q. 2．如果p⇒q，且q

⇒

p，那么称p是q的充分不必要条件．

/3．如果p ⇒

q，且q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件．

/4．如果p ⇒

q，且q ⇒/

p，那么称p是q的既不充分又不必要条件．

/练习：判断p是q的什么条件，并填空：

（1）

p：

x

是整数是

q：x是有理数的

；

（2）

p：

ac＝bc是

q：a＝b的

；

（3）

p：

x＝3 或x＝-3是

q：x2＝9 的

；

（4）

p：同位角相等是

q：两直线平行的

；

（5）

p：(x-2)(x-3)＝0 是

q：x-2＝0 的

．

4、例题讲解

[例1]

下列各题中，哪些p是q的充要条件．

（1）p：b＝0, q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0；

（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；

（4）p：两直线平行；

q：两直线的斜率相等. 答案:

(1) (3)

[一点通]

充分、必要条件判断的常用方法：

(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．

(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断．

1、指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选一个作答)：

(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；

(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；

(4)p：a>b，q：ac>bc. 解：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 ⇒

x－3＝0，故p是q的充分不必/要条件．

(2)两个三角形相似

⇒

两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是/q的必要不充分条件．

(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件．

(4)a>b ⇒

ac>bc，且ac>bc ⇒/

a>b，故p是q的既不充分又不必要条件. /2．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________. 解析：由1×3－a×(a－2)＝0，得a＝3或－1，而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1. 答案：－1 3．对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；

②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；

③“a<5”是“a<3”的必要条件；

④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．

其中真命题的序号为________．

解析：①“a＝b”是ac＝bc的充分不必要条件，故①错，②a>b是a2>b2的既不充分也

不必要条件，故②错．③④正确．

答案：③④

[例2]

已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d. 求证: d = r是直线l 与⊙O

相切的充要条件.

.

1、求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明：(1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2c＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0. ac(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程aax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

[一点通]

求充要条件一般有两种方法：

(1)等价转化法．将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，求解的过程同时也是证明的过程，因为求解的过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．

(2)非等价转化法．先寻找必要条件，即将求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．

5、小结

1．关于充分条件、必要条件、充要条件以及既不充分又不必要条件的关系有如下四种情形：

(1)若pq，则p是q的充分不必要条件；

(2)若qp，则p是q的必要不充分条件；

(3)若p＝q，则p是q的充分必要条件，既充要条件；

(4)若pq，且qp，则p是q的既不充分又不必要条件．

2．根据充分条件、必要条件、充要条件的关系求参数的取值范围，往往运用等价转化的思想，利用互为逆否命题的等价性来解决．