2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学实录

§2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系

一、教材分析

空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系. 二、教学目标

1．知识与技能

（1）了解空间中直线与平面的位置关系；

（2）培养学生的空间想象能力. 2．过程与方法

（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；

（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识. 3．情感、态度与价值

让学生感受到掌握空间直线与平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣. 三、教学重点与难点

重点：空间中直线与平面的位置关系；

难点：用图形表示空间中直线与平面的位置关系. 四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1.(情境导入) 一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系? 思路2.(事例导入) 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，

线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？

图1

（二）新课教学

①什么叫做直线在平面内？

②什么叫做直线与平面相交? ③什么叫做直线与平面平行? ④直线在平面外包括哪几种情况? ⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系. 讨论结论：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内. ②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交. ③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. ④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. ⑤

直线与平面的位置关系

直线a在平面内

直线a与平面相交

直线a与平面平行

公共点个数

图形语言

符号语言

无数个

a⊂α

有且只有1个

a∩α＝A

无公共点

a∥α

（三）应用示例

例1 下列命题中正确的个数是( ) ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点

A.0 B.1 C.2 D.3 分析：如图2,

图2

我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；

A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；

A1B1∥AB, A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD,所以命题③不正确；

l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案：B

跟踪训练1 已知直线a在平面α外，则

(

) A．a∥α

B．直线a与平面α至少有一个公共点

C．a∩α＝A D．直线a与平面α至多有一个公共点

解析：因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交，直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D.

跟踪训练2 请讨论下列问题：

若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.

图3 解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.

跟踪训练3 若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.

图4 拓展提升

1.两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．

其中正确命题的个数有 (

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解析

①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行，有一些是异面；

③中直线a与β内的无数条直线垂直；

④根据定义a与β无公共点，正确. 2.过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？

解：(1)如图5, C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行. 如图6,

图5

图6

图7

显然，平面PQ是符合要求的平面. (2)如图7,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行. 点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维. （六）课堂小结

本节主要学***面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：

①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点.

另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点. （七）作业布置

课本习题2.1 A组7、8.