用频率作为概率的估计值国家优质课一等奖

25.3

用频率估计概率

※教学目标※

晋宁第四中学

段永坤

【知识与技能】

1.理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率. 2.会设计模拟试验，能应用模拟试验求概率. 【过程与方法】

1.经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到常数，可以估计这个事件发生的概率. 2.通过模拟试验的设计与学习，理解试验在现实生活中具有重要作用. 【情感态度】

通过用频率估计概率的学习，认识数学在社会生活中具有重要作用，它既能用于解决实际问题，又为我们提供一套完整的解决问题的思维方式，从而体验数学的重要性. 【教学重点】

对利用频率估计概率的理解和应用. 【教学难点】

利用频率估计概率的理解. ※教学过程※

一、情境导入

出示科比在NBA赛场上的图片，提出问题：一位篮球运动员投3分球的命中率有多大？引入课题. 二、探索新知

1.利用频率估计概率

活动一 每人向上抛掷一枚质地均匀的硬币一次，统计全班结果，落地时正面向上的有 人，反面向上的有 人，则正面向上的频率是 .(让学生举手进行统计)

活动二 分组试验

把全班分成10组，每组同学掷一枚硬币50次，一名同学掷硬币，另一名同学做记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行，以实事求是的态度通过画“正”字的方式统计“正面向上”的频数，整理并记录下来.教师巡视学生分组试验情况.试验结束后，各组汇报数据，并累计记录在黑板相应的栏中，然后用计算器计算频率（结果精确到0.01）. 抛掷次数n

正面向上的次数m

正面向上m的频率

n50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

根据上表中的数据，以累计试验总次数为横坐标，以“正面向上”的频率为纵坐标，在平面直角坐标系中标出相应的点，绘制折线统计图.

请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？

历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果见下表：

试验者

棣莫弗

布丰

费勒

皮尔逊

皮尔逊

抛掷次数n

2048 4040 10000 12000 24000 “正面向上”的次数m

1061 2048 4979 6019 12012 “正面向上”的频率m

n0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 思考

随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？

在学生讨论的基础上，教师帮助归纳，使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性，在试验次数较少时，“正面向上”的频率起伏较大，而随着试验次数逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面向上”的频率越来越接近0.5，也就是说，在0.5左右摆动的幅度越小.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小. 归纳总论 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m稳定一某个常数P，那么事件A发生的概n率P(A)=P. 思考

对于一个随机事件A，用频率估计的概率P(A)可能小于0吗？可能大于1吗？

答：都不可能.它们的值仍满足0≤P(A)≤1. 2.利用频率估计概率的应用

问题1 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做

法？

幼树移植成活率是实际问题中的一种概率，这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计. 在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率，随着移植数n越来越大，频率m会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值. n移植总成活下表是一张模拟的统计图，请补全表中空缺，并完成表下的填空. 数n

数m

从上表可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定.当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是可以估计幼树移植10 8 成活的概率为 . 50 47 答案：0.940 0.923 0.883 0.905 0.897 0.9 270 235

400 369

750 662 问题2 某水果公司以2元/千克的成本价新进10000kg柑橘.如果公1500 1335 司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑3500 3203 橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？

销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”7000 6335 9000 8073 统计，并把获得的数据记录在下表中.请你帮忙完成此表. 14000 12628 成活的频率m

n（结果保留小数点后三位）

0.800 0.870 0.890 0.915 0.902

填完表后，从表可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定.柑橘总质量为500kg时的损坏频率为柑橘总质量n/kg 损坏柑橘质量m/kg 0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1（结果保留小数点后一位）.由此可知，50 5.50 柑橘完好的概率为0.9. 100 10.50 根据估计的概率可以知道，在150 15.15 10000kg柑橘中完好柑橘的质量为200 19.42 100000.99000（kg）. 250 24.25 完好柑橘的实际成本为300 30.93 2100002350 35.32 2.22（元/kg）. 90000.9400 39.24 设每千克柑橘的售价为x元，则450 44.57 500 51.54 . x2.2290005000柑橘损坏的频率m

n（结果保留小数点后三位）

0.110 0.105 解得x2.8. 因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元可获利润5000元. 思考 能不能直接把上表中500千克对应的损坏率作为损坏的概率？

答：可以. 三、巩固练习

1.随机掷一枚之地均匀的硬币20次，其中有8次出现正面，12次出现反面，则掷这枚硬币出现正面的概率是（ ）

A. B. C. D.

2.小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：

试验次数

3的倍数的频率

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 36

39

49

55

61

3的倍数的频数

5 13 17 26 32 25122335（1）完成上表；

（2）频率随着试验次数的增加，稳定于什么值左右？

（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？

（4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少？

答案：1.B 2.（1）0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31；（2）0.31；（3）0.31；（4）0.3. 四、归纳小结

1.什么时用频率估计概率？

2.你会用频率估计概率来解决实际问题吗？

※布置作业※

从教材习题25.3中选取．

※教学反思※

1.猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的.这节课教师应把握教学难度，注意关注学生的接受情况. 2.一般地，当试验的可能结果是有限个而且各种结果发生的可能性相等时，可以用P(A)=m的方式得出概率.n当试验的所有可能的结果是无限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过统计概率来估计概率的.