一元一次不等式与一次函数图象的关系名师教学实录

二元一次方程和一次函数的关系

（北师大版教材八年级上第5章）

成都石室中学初中学校（培华）

陈曦

一、教材和学情分析：

教材分析：二元一次方程与一次函数是北师大版课标教材八年级上册第五章“二元一次方程组”第六节的内容.本节课是在学习了二元一次方程组的认识、解法以及应用的基础上，进一步对二元一次方程（组）与一次函数的本质联系进行探究.

学情分析：学生在第四章已经学习了一次函数，对一次函数的关系式、图像、性质等有了一定的认识，在第五章的前几节课中学习了二元一次方程组的解法和应用.但对二者的内在联系还是很陌生，课堂应以一个等式为突破口，渗透数形结合的思想，进行归纳学习. 二、教学目标

（一）知识与技能

（1）理解二元一次方程（组）与一次函数的对应关系. （2）领会数形结合的数学思想方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力. （二）过程与方法

通过对二元一次方程（组）与一次函数的关系的探究以及相关问题的解决，学会用函数的观点去认识问题的方法，进一步体会数形结合的重要思想方法. （三）情感态度价值观

（1）让学生通过观察、思考、推理等形式，培养学生良好的数学品质. （2）在合作中学习，学会交流，提高学生的合作意识. 三、教学重点和难点

教学重点：二元一次方程（组）与一次函数的关系的探索

教学难点：应用二元一次方程（组）与一次函数的关系解决问题.

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四、教学方法：

教学方法：探究体验式

教学手段：多媒体教学与传统教学手段相结合

五、教学过程：

探究1——总结1——探究2——总结2——探究3——总结3——梯级训练——本课小结

教学环节

教学内容

学生活动

设计说明

通过对这个问题的证明，让学生明白任意的二元一次方程都能与一次函数相互转化，从而为后面的探究奠定基础. 培养学生归纳总结的习惯. 从二元一次方程的解到点再到一次函数的图像，让学生感受它们之间的关联，以及从数到形的演变过程。从而加深学生对数形结合的数学思想的理解.

学生经历由形到数的演变过程，明白数形结合是双向的，同时理解方程的解和函数图像上点的坐标是一一对应的. 提问：是否任．意．的二元一次方程请1名同学回答（axbyc(ab0)）和一次函数都能相互转二元一次方程和一次函数转化？

化的过程

探究一

结论1 任意的二元一次方程和一次函数可以相互转化

1.

请写出4个x+y=1的解.

2.

在坐标系中描出以x为横坐标，y为纵坐标的

点；同时作出y=-x+1的图像.

3.

观察这4个点在不在y=-x+1的图像上.

提炼：以二元一次方程的

为坐标的点在

它对应的 图像上.

教师引导，

学生归纳；

在学案中

独立完成，

回答老师

的追问并

提炼

探究二

探究二

在学案中独立完成，

并请一个同学回答

提炼：

他取的点的坐一次函数图像上 的坐标是它对应的 标，再一起验证的解.

是否满足方程，最后同学们一

起提炼

4．在y=-x+1的图像上再取3个点，以它们的横坐标为x的值，纵坐标为y的值，验证它们是否满足方程x+y=1.

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总结2

二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标相对应

1.以小组为单位，类比探究二，探究二元一次方程组教师引导

学生归纳

（1）学生小组合作

共同探究归纳

（2）请小组选派代表分享探究过程和成果

xy1的解和它们对应的一次函数2xy4和的交点坐标的关系.

探究三

培养学生归纳概括的能力.

体会数学结合思想.

探究三的解决也可以利用探究2的结论来解决，呈现出知识的延续性，对学生的能力也是一种拔高.

为后面的知识应用奠定基础. 培养学生归纳概括的能力.

用结论3来解决此部分内容.

再次体现数形结合的思想.

总结

3 二元一次方程组的解和一次函数图像的交点坐标相对应

教师引导

学生归纳

探究三

xy12.（1）方程组

有

个解；它对应

2xy4的两条直线的位置关系为

. xy1（2）方程组

有

个解；它对应的xy5两条直线的位置关系为

. （3）方程组xy1有

个解；它对应的2x2y2

教师引导

全班同学

齐答

两条直线的位置关系为

.

1.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是

二元一次方程x﹣2y=2的解是（

）

学生独立完成

基础再一一请同学

A

B

C

D 链接

回答或者齐答

巩固二元一次方程的解和一次函数的点的坐标的关系.

B- 3 -

x2y22．若二元一次方程组的解为2xy2x21yx1与y2x2的图象的，则函数2y2交点坐标为

.

3.

一次函数y2x8和y5x图像的交点坐标为（3,2），则方程组2xy8的解xy5为

. 4.

一次函数y =kx +b的图象上一部分点的坐标见下表：

x …

-1 0 1 y …

-7 -4 -1 正比例函数的关系式为y=x，则方程组

学生独立完成

再一一请同学

回答或者齐答

2、3、4均为对二元一次方程组的解和一次函数交点坐标的关系的巩固.

y kx b的解为

. y x1．已知二元一次方程组axy1的解为bx2y3在以往的知识层面上利用本节课所学知识来解决问题，对学生的能力要求较高，对思维是一种拔高. x1b1，则一次函数yax1和yx图22y2像的交点坐标为

. 变式byx5图像2.

已知一次函数和yax2练习

2的交点坐标为（-2，-4），则二元一次方程组学生独立完成后再一一请学生来分析

a(x2)(y2)2的解b(x2)2(y2)10为

.

归纳

本节课所学的内容有：

（1）

任意的二元一次方程和一次函数可以相互转化；

（2）

二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标相互对应

（3）

二元一次方程组的解与一次函数的交- 4 -

在教师的引导下小结

沉淀知识, 提高能力.

小结

点坐标相对应

（4）

数学思想：数形结合

六、教后反思（教学完后总结）

七、板书设计：

二元一次方程和一次函数的关系

板书学生所举出的二元一次方程. 二元一次方程与一次函数转化的推导过程. 探究一：

探究二：

探究三：

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