*10.4 三元一次方程组PPT及专用教学设计内容

10.4 三元一次方程组 无锡市新安中学 金国东

教学目标

1．理解三元一次方程组的含义．

2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．

3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．

教学重点

1．使学生会解简单的三元一次方程组．

2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．

教学难点

针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．

导入新课

前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一次方程组来求解．实际上，有不少问题中含有更多的未知数．大家看下面的问题．

推进新课

一、研究探讨

出示引入问题

小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．

1．题目中有几个未知数，你如何去设？

2．根据题意你能找到等量关系吗？

3．根据等量关系你能列出方程组吗？

请大家分组讨论上述问题．

（教师对学生进行巡回指导）

学生成果展示：

1．设1元，2元，5元各x张，y张，z张．（共三个未知数）

2．三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍．

xyz12, 3．上述三种条件都要满足，因此可得方程组x2y5z22,

x4y. 师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．

怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？

（学生小组交流，探索如何消元．）

可以把③分别代入①②，便消去了x，只包含y和z二元了：

x8,4yyz12,5yz12,即解得y2,

4y2y5z22,6y5z22.z2. 解此二元一次方程组得出y、z，进而代回原方程组可求x．

教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．

即三元一次方程组

二、例题讲解

消元

二元一次方程组

消元一元一次方程

3x4z7, 例1：解三元一次方程组2x3yz9,

5x9y7z8. （让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较．）

解：②×3+③，得11x+10z=35．

3x4z7,x5, ①与④组成方程组

解得11x10z35.z2. 把x=5，z=-2代入②，得y=1．

3

x5,1 因此，三元一次方程组的解为y,

3z2. 归纳：此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．•反之用代入法运算较烦琐．

例2：在等式y=ax+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，•c的值．

（师生一起分析，列出方程组后交由学生求解．）

2abc0, 解：由题意，得三元一次方程组4a2bc3,

25a5bc60. ②-①，得a+b=1， ④

③-①，得4a+b=10． ⑤

ab1, ④与⑤组成二元一次方程组．

4ab10. 解得a3,

b2 把a=3，b=-2代入①，得c=-5．

a3, 因此b2,，

c5. 答：a=3，b=-2，c=-5．

知能训练

1．解下列三元一次方程组：

x2y9,(1)yz3,2zx47;3xyz4,(2)2x3yz12,xyz6.x22,x2,解:(1)y15.5,(2)y3,z12.5;z1.

2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的这三个数．

11等于丙数的，求32xyz35,x10,解得y15,

解：设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z，则2xy5,yzz10.,32 即甲、乙、丙三数分别为10、15、10．

课堂小结

1．学会三元一次方程组的基本解法．

2．掌握代入法，加减法的灵活选择，体会“消元”思想．

布置作业

习题10.4 备课资料

参考例题

3x2yz6,axby2cz2, 1．已知方程组6xy2z2,与关于x,y,z的方程组2ax3by4cz1,相6x2y5z33ax3by5cz1同，求a，b，c的值．

x:y3:2, 2．解方程组y:z5:4,

xyz66.

3．在y=ax+bx+c中，当x=1，2，3时，y=0，3，28，求a，b，c的值．当x=-1时，y•的值是多少？

答案：

1．分析：因为两个方程组的解相同，即x，y，z取值相同，可求解第一个方程组中的x，y，z，代入第二个方程组后，求解a，b，c．

21x,3x2yz6,3 解：解方程组6xy2z2,解得y2,

6x2y5z3,z1.1x,3把y2,z1 a32b2c2,axby2cz2,22ax3by4cz1,a6b4c1,3ax3by5cz1,3a6b5c1.

a9,1解得b,2c1. 2．提示：将①②变为x=34y，z=y后求解．

25x30, 答案：y20,

z16.abc0,a11, 3．解：由题意，得4a2bc3,解得b30,

9a3bc28.c19. 所以y=11x-30x+19．

所以当x=-1时，y=11×（-1）-30×（-1）+19=60．

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