等式的性质与方程的简单变形优质课教案内容

6.2

解一元一次方程

1.等式的性质与方程的简单变形

第1课时

由等式的性质到方程简单变形

情景导入

置疑导入

归纳导入复习导入

类比导入悬念激趣

情景导入

同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事．

图6－2－1 小时候的曹冲是多么聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的质量．最常见的方法是用天平测量一个物体的质量．现在认识一下天平，然后回答下列问题：

问题1：天平有什么作用呢？它代表什么意义呢？

问题2：要让天平平衡应该满足什么条件？

问题3：如果天平在平衡的条件下，左盘放着重(3x＋4)克的物体，右盘放着重4x克的物体，你知道怎样列式吗？

问题4：已知方程4x＝3x＋4，你能求出x吗？

[说明与建议] 说明：通过对天平的认识让学生感受等式可以类比天平，利用天平称物的图示可以形象直观地展现等式的性质，还可以直观地展现方程的求解过程，从而激发学生的求知欲．建议：充分发挥学生的主动性，注重训练学生的合作交流意识，通过解决问题，回顾以前知识，提醒学生注意与新知识的对比．

置疑导入

上节课我们将几个实际问题转化成了数学模型即方程，只列出了方程，并没有求出方程的解．其实，在小学我们利用逆运算能够去求形如ax＋b＝c的方程的解，比如：5x21＋4＝9.对于这样的方程：x＝，比较复杂，怎么解呢？

33要想求出这些复杂的一元一次方程的解，我们必须研究等式的性质，才可以解决这个问题．

[说明与建议] 说明：学生感受到自己原先具有的知识已不能够解决目前的问题，学生遇到了困难，从而激发学生的求知欲，产生了克服困难的决心和信心，更能积极投入到新课的学习情境中去．建议：可让学生去解一下这个复杂的方程，让他们亲身体会此方程的复杂，然后小组讨论，是否能够找到解决办法．

教材母题——教材第6页例1、例2 例1

解下列方程：

(1)x－5＝7；(2)4x＝3x－4. 例2

解下列方程：

31(1)－5x＝2；(2)x＝. 23【模型建立】

利用等式的基本性质解方程就是通过对方程进行简单变形，使含未知数的项在一边，不含未知数的项在另一边，合并同类项后，两边同时除以未知数的系数即可．

【变式变形】

1．如果5a3b5与a3b6m7是同类项，那么m的值为(

B

) －A．－4

B．2

C．－2

D．4 2．当x＝___3___时，代数式3x－7的值是2. 3．当k＝__－12__时，方程5x－k＝3x＋8的解是－2. 4．解方程：

6(1)2－3x＝5.[答案：x＝－1]

(2)－2x＝6＋3x.[答案：x＝－] 53112(3)－x＋2＝－4.[答案：x＝10]

(4)－x＋1＝－2x＋4.[答案：x＝] 547

[命题角度1] 等式的基本性质的应用

此种题型考查学生对等式的基本性质的理解，应用等式的基本性质对方程进行简单变形．

1例

把方程x＝1变形为x＝2，其依据是__等式的性质2__．

2[命题角度2] 移项的识别

移项的依据是方程的变形规则1，这一变形过程不改变方程的解．注意：(1)移项的时候一定要变号；(2)移项不等于移动，在等号一边利用加法交换律移动的项不能改变符号；(3)移项不改变方程中项的数目，不要漏写任一项．

例

解方程6x＋1＝－4，移项正确的是(

D

) A．6x＝4－1

B．－6x＝－4－1 C．6x＝1＋4

D．6x＝－4－1

[命题角度3] 利用等式的基本性质解方程

利用等式的基本性质可以把一个等式进行变形，变成ax＝b的形式，然后两边同时除以a即可．

1例

[湖州中考]

方程2x－1＝0的解是x＝____．

2

[命题角度4] 与其他知识综合

此类型试题检测学生的审题能力，并能根据题意准确列出式子，利用一元一次方程的解法求出有关字母的值．

例

x为何值时，代数式2x－3与－3x＋7的值互为相反数？[答案：x＝4]

[命题角度5] 解决实际应用题

列方程解决实际问题是本章的重点及难点，此类型考题注重考查学生的综合分析能力及解决问题的能力，要求学生能够读懂题意，找准等量关系，正确列出方程并求解．

图6－2－2 例

[金华中考]

一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图6－2－2方式进行拼接．

(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可做多少人？

(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？

解：(1)4张餐桌：4×4＋2＝18(人)；8张餐桌：4×8＋2＝34(人)．

(2)设这样的餐桌需要x张，由题意得4x＋2＝90，解得x＝22.

答：这样的餐桌需要22张．

练习1

P5 1．回答下列问题：

(1)由a＝b能不能得到a－2＝b－2？为什么？

mn(2)由m＝n能不能得到－＝－？为什么？

33(3)由2a＝6b能不能得到a＝3b？为什么？

xy(4)由＝能不能得到3x＝2y？为什么？

23解：(1)能，根据等式的基本性质1，两边同时减去2. 1(2)能，根据等式的基本性质2，两边同时乘以－. 3(3)能，根据等式的基本性质2，两边同时除以2. (4)能，根据等式的基本性质2，两边同时乘以6. 2. 填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪一条等式性质得到的：

(1)如果x－2＝5，那么x＝5＋________；

(2)如果3x＝10－2x，那么3x＋________＝10；

(3)如果2x＝7，那么x＝________；

x－1(4)如果＝3，那么x－1＝________. 2解：(1)2，等式的基本性质1. (2)2x，等式的基本性质1. 7(3)，等式的基本性质2. 2(4)6，等式的基本性质2. 练习2

P7 1．下列方程的变形是否正确？为什么？

(1)由3＋x＝5，得x＝5＋3；

7(2)由7x＝－4，得x＝－；

41(3)由y＝0，得y＝2；

2(4)由3＝x－2，得x＝－2－3. 解：(1)错误，3由等号左边移项到等号右边没有改变符号．

4(2)错误，方程两边同时除以7，得x＝－. 7(3)错误，方程两边同时乘以2，得y＝0. (4)错误，x由等号右边移项到等号左边没有改变符号．

2．(口答)求下列方程的解：

(1)x－6＝6；

(2)7x＝6x－4；

(3)－5x＝60；

11(4)y＝. 42解：(1)x＝12.

(2)x＝－4. (3)x＝－12.

(4)y＝2. 练习3

P8 1．解下列方程：

(1)3x＋4＝0；

(2)7y＋6＝－6y；

(3)5x＋2＝7x＋8；

(4)3y－2＝y＋1＋6y；

21(5)x－8＝－0.2x；

5411(6)1－x＝x＋. 23解：(1)移项，得3x＝－4. 4两边同时除以3，得x＝－. 3(2)移项，得7y＋6y＝－6. 合并同类项，得13y＝－6. 两边同时除以13，得y＝－(3)移项，得5x－7x＝8－2. 合并同类项，得－2x＝6. 两边同时除以(－2)，得x＝－3. (4)移项，得3y－y－6y＝1＋2. 合并同类项，得－4y＝3. 3两边同时除以(－4)，得y＝－. 4(5)两边同时乘以20，得8x－160＝5－4x. 移项，得8x＋4x＝5＋160. 6. 13

合并同类项，得12x＝165. 两边同时除以12，得x＝55. 4(6)两边同时乘以6，得6－3x＝6x＋2. 移项，得－3x－6x＝2－6. 合并同类项，得－9x＝－4. 4两边同时除以(－9)，得x＝

. 92．试解6.1节中问题1所列出的方程．

解：移项，得44x＝328－64. 合并同类项，得44x＝264. 两边同时除以44，得x＝

6. 习题6.2.1

P9 1．解下列方程：

(1)18＝5－x；

31(2)x＋2＝3－x；

44(3)3x－7＋4x＝6x－2；

(4)10y＋5＝11y－5－2y；

(5)x－1＝5＋2x；

(6)0.3x＋1.2－2x＝1.2－2.7x. 解：(1)移项，得x＝5－18. 合并同类项，得x＝－13. 31(2)移项，得x＋x＝3－2. 44合并同类项，得x＝1. (3)移项，得3x＋4x－6x＝7－2. 合并同类项，得x＝5. (4)移项，得10y－11y＋2y＝－5－5. 合并同类项，得y＝－10. (5)移项，得x－2x＝5＋1. 合并同类项，得－x＝6，

两边同时除以－1，得x＝－6. (6)移项，得0.3x－2x＋2.7x＝1.2－1.2. 合并同类项，得x＝0. 2．解下列方程：

(1)2y＋3＝11－6y；

(2)2x－1＝5x＋7；

1(3)x－1－2x＝－1；

311(4)x－3＝5x＋. 24解：(1)移项，得2y＋6y＝11－3. 合并同类项，得8y＝8.

两边同时除以8，得y＝1. (2)移项，得2x－5x＝7＋1. 合并同类项，得－3x＝8. 两边同时除以－3，得x＝－83. (3)移项，得13x－2x＝－1＋1. 合并同类项，得－53x＝0. 两边同时除以－53，得x＝0. (4)移项，得112x－5x＝4＋3. 合并同类项，得－9132x＝4. 两边同时除以－92，得x＝－1318. 3．已知A＝3x＋2，B＝4－x，解答下列问题：

(1)当x取何值时，A＝B?

(2)当x取何值时，A比B大4? 解：(1)根据题意，要求3x＋2＝4－x的解．

解这个方程得x＝12. 所以当x＝12时，A＝B. (2)根据题意，要求3x＋2－(4－x)＝4的解．

解这个方程得x＝

32. 所以当x＝32时，A比B大4.

专题一

一元一次方程

1.

在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边(

) A．乘以同一个数．B．乘以同一个整式．C．加上同一个代数式．D．都加上1．2.

某种商品若按标价的八折出售，可获利20％，若按原标价出售，可获利(

)．

A．25％

B．40％

C．50％

D．66.7％

3.

下面判断中正确的是

A．方程2x31与方程x(2x3)x同解

B．方程2x31与方程x(2x3)x没有相同的解

C．方程x(2x3)x的解都是方程2x31的解

]

[

D．方程2x31的解都是方程x(2x3)x的解

专题二

探究题

4.

对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数.例如[3.14]＝3,[－7.59]＝－8,则满足关系式3x7[7]＝4的x的整数值有(

) A．6个

B．5个

C．4个

D．3个

5.

现在弟弟的年龄恰是哥哥年龄的的年龄是___________岁．

11，而九年前弟弟的年龄是哥哥年龄的，则哥哥现在523x-1.14x-0.20.16-0.7x6.解方程：

－

＝

0.40.30.06

状元笔记

【知识要点】

1.等式的基本性质：（1）等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式的两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式. 2.方程的变形规则：（1）方程的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；（2）方程的两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变. 3.方程的变形类型：（1）移项：依据方程的变形规则1，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形；（2）将未知数的系数化为1：依据方程的变形规则2，将方程的两边都除以未知数的系数的变形. 4.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程. 5.解一元一次方程的步骤：

①去分母

②去括号

③移项

④合并同类项

⑤化未知项的系数为1

⑥检验方程的解一般不需答出，但要养成检验的习惯

6.列一元一次方程解应用题的步骤：

①弄清题意，设未知数：求什么？用字母表示适当的未知数；

②分析条件，找等量关系：找出已给出的数量及未知数之间的等量关系；

③组织方程，列方程：对等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系得到方程. ④解所得的方程：求解所列出的一元一次方程，并检验所求的解是否原方程的解、是否符合实际意义. ⑤写出答语.

【温馨提示（针对易错）】

1.判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个

未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像12，2x22x1等都x不是一元一次方程. 2.解方程时要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.

【方法技巧】

解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，将方程化为“x＝常数”的形式，最后的“常数”就是方程的解.

答案

1.【答案】D

2.【答案】C．

【解析】设商品的进价为a元，标价为b元，

3则80%b－a＝20%a，解得b＝

a，

2b-a原标价出售的利润率为

×100%＝50% a3.【答案】D

【解析】方程2x31的解是x2；方程x(2x3)x的解是x0和x2．因此，A. B．C．的判断都是错误的，只有D判断正确．

4.

【答案】D

5.

【答案】12 【解析】设弟弟年龄是x，则哥哥年龄是2x，则依题意有5（x－9）＝(2x－9)，

∴x＝

12.

6.

【答案】解：原方程变形为

30x-1140x-216-70x

－

＝

436

去分母，得3×(30x－11)－4×(40x－2)＝2×(16－70x)

去括号，得90x－33－160x＋8＝32－140x

移项，

得90x－160x＋140x＝32＋33－8

合并，

得70x＝57

57

系数化为1，得x＝

70

“方程的简单变形”学习点拨

学习方程变形的依据及方程的两种简单变形，是为进一步学习解一元一次方程作铺垫。下面结合例题加以说明，供同学们学习参考。

一、理解方程变形的依据

通过课本根据天平称物体质量的实例，我们得到方程变形的依据：

1．方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；

2．方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变。

通过对方程的适当变形，可以求得方程的解。

例1

解下列方程，并说出变形的依据：

(1) 2x－5=3；(2) x2=x+6.

3解

（1）根据方程变形的依据1，得2x-5+5=3+5，即2x=8，再根据方程变形的依据2，得x＝4. （2）根据方程变形的依据2，x－2=3x+18，再根据方程变形的依据1，得x－2－3 x +2=3

x+18+2－3x，即x－3 x ＝20，得－2x＝20. 再根据方程变形的依据2，得x＝－10 二、掌握方程的两种基本变形

1．移项变形

下面我们通过实例来认识移项这个新概念。

例2

解下列方程：

(1)x－5 = 7；

(2)4x = 3x－4．

解析：

(1)利用方程的变形规律，在方程x－5 = 7的两边同时加上5，即x

－5 + 5 = 7 + 5，即：

(2)利用方程的变形规律，在方程4x = 3x－4的两边同时减去3x，即4x－3x = 3x－3x－4,即：

像上面这样，把方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

注意：（1）“移项’’是指将方程的某一项从等号的左边移到右边或从右边移到左边，移项时要先变号后移项。

(2)上面两小题方程变形中，均把含未知数x的项，移到方程的左边，而把常数项移到了方程的右边．有时为了考虑符号的变化，也可以反过来。

(3)移项需变号，即：“跃过等号，改变符号”．

2．将未知数的系数化为1 例3

解方程：

31x

233231x的两边同除以或同乘以，即2323解析：利用方程的变形规律，在方程33133212x(或x)，可求得方程的解．

22322333321312方程两边都除以，得x = ，

即x = ．

2932332122或方程两边同乘以，得

x = ．

3339我们通常把这种变形称作“将未知数的系数化为1” .

注意：在上面解方程的过程中对方程进行适当的变形，得到x = a的形式．

三、典例剖析

例4

解方程：5(x＋8)－5＝0．

分析：这个方程带有括号，可以先去括号再解一元一次方程解出x；此题还可以先将5

移到方程的另一边变为5，而此时方程左边是相乘形式，利用方程变形的依据2，将括号前系数化为1，最后将常数项全部移到方程右边即可．

解法一：5(x－8)－5＝0 去括号，得：5x－5×8－5＝0 ，5x－45＝0 移项，得：5x＝45 系数化1，得：x＝9 解法二：5(x－8)－5＝0 移项得：5(x－8)＝5 方程两边同时除以5，得：x－8＝1 移项得：x＝1＋8 ，即x＝9