4.6 对数函数的图像与性质多媒体教案及点评

《对数函数的图像与性质》教学设计

上海市文来中学（高中部）叶莺

一、教学内容解析

本节课的主要任务是在学习对数的概念与运算性质和反函数之后，类比研究指数函数的过程认识对数函数。这节课是第一课时内容，主要介绍对数函数的图像和性质以及它的简单应用。

二、教学目标设置

基于以上分析,并且数学教学应当在传授知识技能的同时加强思维教学,重视知识的形成过程,所以本节课的教学目标设置为：

1、理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；

2、能画出具体的对数函数的图像，能利用对数函数的性质解决相关问题；

3、体会探究的乐趣，养成严谨的思维习惯，提升思维品质，培育数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模的数学核心素养；

4、在学习过程中，渗透从特殊到一般、数形结合等数学思想，体会类比推理在获得数学结论上的作用。

教学重点：理解对数函数的图像及性质

教学难点：通过指数函数的图像和性质类比对数函数的图像和性质

三、教学过程设计

（一）复习巩固

通过前面指数函数的学习，我们初步形成了研究函数的思路和方法。在随后的对数及其运算性质的学习中，我们又认识到了指、对数之间的紧密联系，我们又刚刚学习了反函数的定义，请问：指数函数存在反函数吗？如果存在，它是一个怎样的函数，它的图像是什么样子？它又具有什么性质呢？

【设计意图】简要回顾前面所学知识，为本节课的学习做好铺垫，最后以问题的形式激发学生对一类新的函数——对数函数的学习兴趣。

（二）情境引入

问题1：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x表示。

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x是不是细胞个数y的函数？为什么? 根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是xlog2y

如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数值就是ylog2x

由反函数概念可知，

ylog2x与指数函数y2x互为反函数

这一节课，我们来研究指数函数的反函数——对数函数

【设计意图】通过实际情境引出对数函数的概念，让学生体会研究对数函数的实际意义。学生通过计算，可以体会两个变量间的对应关系，从而联想到对数

函数与指数函数互为反函数之间的联系，使得函数概念建立之初就能用一个比较高的观点审视之。

（三）概念形成

由具体的函数抽象出一般的对数函数：

一般地，我们把函数ylogax(a0,且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,)。

【设计意图】从特殊的函数中抽象出一般对数函数的解析式，并且类比指数函数的定义，确定底数a的取值范围。

（四）问题探究

问题2：根据反函数的定义，类比指数函数的图像和性质，你能得到对数函数的图像和性质吗？请先独立思考，之后小组讨论，确定你们的研究结论。

预设的师生活动：学生按照要求完成之后进行展示交流。

探究的思路是：根据指数函数和反函数的性质作出对数函数的图像，然后根据图像研究函数性质（包括定义域、值域、单调性、奇偶性、定点、图像的其他变化特征等方面）。并将结果用恰当的形式记录下来

【设计意图】将研究函数的图像和性质的主动权交给学生，培养学生基于类比进行自主学习的能力。既能培养学生探究的意识和能力，又能达到对反函数概念以及指数函数图像与性质的巩固的目的。

师生共同归纳总结对数函数的图像和性质：

ylogax

0a1

a1

图

像

定义域

值

域

定

点

单调性

奇偶性

函数值的分布

在(0,)上单调递减

非奇非偶

当0x1时，

logax0

当x1时，logax0

当0x1时，logax0

当x1时，

logax0

(0,)

R

(1,0)

在(0,)上单调递增

注：当两个对数函数的底数互为倒数时，这两个对数函数的图像关于x轴对称（可用几何画板画出ylogax以及ylog1x这两个对数函数，设定参数a变a

化时观察函数图像所呈现出的情况进行验证）。

（五）初步应用

例1 求下列函数的定义域：

（1）ylog2x2；（2）ylog3(x24)；（3）ylog4(x24)；

解：（1）因为x20，即x0，所以函数的定义域是(,0)(0,)。

（2）因为x240，所以函数的定义域是(,2)(2,)。

（3）因为x240恒成立，所以函数的定义域是R。

【设计意图】巩固学生对对数函数概念的认识，利用换元的方法，将新问题转化为基本问题，体现代数问题求解的转化思想和整体思想。

例2 比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log35,log37;

（2）log0.53,log0.5;

（3）loga(a21),loga(2a)(a0,且a1)；

（4）log35,log25.

（5）log67,log76；

（6）log3,log20.8

预设的师生活动：类比指数函数的的同类问题解决，进一步理解掌握对数函数的图像和性质。

解：（1）因为函数ylog3x在(0,)上单调递增，且57，所以log35log37；

（2）因为函数ylog0.5x在(0,)上单调递减，且3，所以log0.53log0.5；

（3）因为底数a0且a1，由基本不等式得，a212a；

再对底数分类讨论：当a1时，loga(a21)loga2a；

当0a1时，loga(a21)loga2a；

（4）对于底数不同、真数相同的对数的比较，可以借助函数图像操作。

引导学生在同一坐标系中作出ylog3x以及ylog2x的图像以及直线x2，观察直线与曲线的交点，通过比较交点的纵坐标发现log35log25。

（5）由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数的大小。

log67log661且log76log771log67log76

（6）log3log310且log20.8log210log3log20.8；

【设计意图】(1)(2)类比指数函数中同类问题的解决办法，利用对数函数的单调性解题。(3)培养学生类比的学习能力，同时渗透分类讨论的思想；（4）利用函数图像培养学生直观想象素养。（5）（6）用函数单调性不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，从而培养学生的逻辑推理数学素养

（六）梳理总结

对数函数在地震震级计量和古代文物年代测定中有着广泛应用，它在缓慢增长现象的建模方面是非常重要的数学模型。

问题3：通过这节课的学习你有哪些收获呢？

【设计意图】授之以鱼不如授之以渔，一堂课下来，学生们所能掌握到的思路、方法及思想远比知识本身更重要。通过这一环节的设定，教师要将学生的学习提升到理论高度，让学生在头脑中形成学习、探究的意识。

预设的师生活动：师生共同小结，谈谈这节课的历程与感受，从一个概念（对数函数）出发围绕一个中心（性质与图像）经历了一次数学探究的过程，领悟了一些思想方法，也留下了一些问号，在数学学习的过程中感受了数学的美！

（七）课后思考

问题4：例1中的三个函数的值域分别是什么？当m取什么范围时，关于x的函数yloga(x2m)的定义域为R？值域为R？你能推广到更一般的结论吗？

【设计意图】进一步巩固对数函数的图像和性质，并为以后的学习做出铺垫。