2.2.1 椭圆的标准方程优秀课堂实录

2.2.1

椭圆及其标准方程(一)

学习目标

1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．

知识点一

椭圆的定义

思考1

给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？

思考2

在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？

梳理

(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．

(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：

P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．

(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：

条件

2a>|F1F2|

2a＝|F1F2|

2a<|F1F2|

知识点二

椭圆的标准方程

思考1

在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？

思考2

若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？

梳理

(1)椭圆标准方程的两种形式

焦点位置

焦点在x轴上

标准方程

x2y2＋＝1(a>b>0)

a2b2y2x2＋＝1(a>b>0)

a2b2焦点

F1(－c,0)，

F2________ F1________，

F2(0，c) 焦距

2c

结论

动点的轨迹是椭圆

动点的轨迹是线段F1F2

动点不存在，因此轨迹不存在

焦点在y轴上

2c

(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系

1

椭圆在坐标系中的位置

标准方程

焦点坐标

a，b，c的关系

(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标．

判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁y2x2大在谁上”．如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，54F2(0,1)，焦距|F1F2|＝2.

类型一

椭圆的定义解读

例1

点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．

解

方程x2＋y2－6x－55＝0化标准形式为：(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆．

引申探究

若将本例中圆C的方程改为：x2＋y2－6x＝0且点P(－3,0)为其外一定点，动圆M与已知圆C相外切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程．

解

设M(x，y)，据题，

圆C：(x－3)2＋y2＝9，圆心C(3,0)，半径r＝3. 由|MC|＝|MP|＋r，故|MC|－|MP|＝r＝3，

即x－32＋y－02－x＋32＋y－02＝3，

x2y2整理得－＝1(x<0)．

92744反思与感悟

椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．

定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．

常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制x2y2＋＝1(a>b>0)

a2b2F1(－c,0)，F2(c,0)

b2＝a2－c2

y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2F1(0，－c)，F2(0，c)

2

条件．

跟踪训练1

下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝2的点P的轨迹为椭圆；

②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；

③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．

类型二

求椭圆的标准方程

命题角度1

用待定系数法求椭圆的标准方程

111例2

求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P(，)，Q(0，－)的椭圆的标准方程．

332x2y2解

方法一

①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab依题意有1－20＋b＝1，221122332＋2＝1，ab

解得1b＝4.21a2＝，5

由a>b>0知不合题意，故舍去．

y2x2②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab依题意有1－2a＋0＝1，221122332＋2＝1，ab解得1b＝5.21a2＝，4

y2x2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 1145方法二

设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．

则14n＝1，11m＋n＝1，99

m＝5，解得

n＝4.

所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，

y2x2故椭圆的标准方程为＋＝1. 1145

引申探究

3

x2y2求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程．

259x2y2解

据题可设其方程为＋＝1(λ>－9)，

25＋λ9＋λ又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)，

x2y2故所求的椭圆方程为＋＝1. 3620反思与感悟

(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．

x2y2x2y2(2)与椭圆2＋2＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0，b2>－λ)，与椭aba＋λb＋λy2x2y2x2圆2＋2＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0，b2>－λ)．

aba＋λb＋λ跟踪训练2

求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；

(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；

(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．

命题角度2

用定义法求椭圆的标准方程

例3

已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程．

解

据题C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，

设M(x，y)，半径为R，

则|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R，故|MC1|＋|MC2|＝10，

据椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16. x2y2故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1. 2516

反思与感悟

用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值．

跟踪训练3

已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为过点P作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．

4525和，33

4

类型三

椭圆中焦点三角形问题

y2x2例4

(1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求54△F1PF2的面积．

x2y2(2)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小．

92解

(1)由椭圆的标准方程，知a＝5，b＝2，

∴c＝a2－b2＝1，∴|F1F2|＝2. 又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝25. 在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，

即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，

即4＝20－(2＋3)|PF1|·|PF2|，

∴|PF1|·|PF2|＝16(2－3)．

111∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×16(2－3)×＝8－43. 222x2y2(2)由＋＝1，知a＝3，b＝2，∴c＝7，

92∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|21∴cos∠F1PF2＝＝－，

2|PF1|·|PF2|2∴∠F1PF2＝120°.

反思与感悟

在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．

在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．

x2y2跟踪训练4

(1)在椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝α，点P的坐abα标为(x0，y0)，求证：△PF1F2的面积S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan. 2x2y2(2)已知椭圆的方程为＋＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)．求△PF1F2的面43积．

5

1．已知A(－5,0)，B(5,0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是(

) A．椭圆

C．线段

B．直线

D．点

2．若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为(

) A．1

C．0

B．3 D．－2 x2y23．已知椭圆C：＋＝1内有一点M(2,3)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C2516上一点，则|PM|＋|PF1|的最大值为________，最小值为________．

4．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________________．

5．求经过两点(2，－2)，(－1，14)的椭圆的标准方程．

2

1．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算．

2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．

3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．

6