2.2.2 椭圆的几何性质教学设计实例

普通高中课程标准实验教科书

数学选修2-1 2.2.2椭圆的几何性质

江苏省西亭高级中学

王小亮

【教学内容解析】

1．圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的重要曲线，充分体现了解析几何的基本思想。同时它是一个重要的数学模型，它具有很多的非常好的几何性质，在日常生活、社会生产及科学技术中都有着重要而广泛的应用.

2．椭圆的几何性质研究主要体现解析几何基本思想，通过方程来研究曲线的性质，在继必修2第二章《平面解析几何初步》之后，继续渗透这种思想，学生有了初步的解析几何意识，基本能够借助于图形特征，方程形式对性质进行直觉猜想和严格验证.

3. 这节课我们是在学习了圆锥曲线的定义，椭圆的标准方程之后，试图运用方程来研究椭圆的几何性质，是后面学习双曲线、抛物线几何性质的知识铺垫、能力基础和方法指导。起到了承上启下、完善建构、拓展提升的作用.

4．教学重点：椭圆几何性质的探索和发现；通过方程研究椭圆的几何性质.

【教学目标设置】

1．通过梳理解析几何思想，实例圆的性质研究，建立探究和掌握椭圆的简单的几何性质研究策略；

2．进一步感受运用方程研究曲线的几何性质的思想方法，巩固对解析几何

基本思想的认识；

3．能够运用类比思想探究新知识：（1）从研究方法的角度：让学生类比利2y2x用圆的方程xy1研究圆的对称性，自主探究方程221(ab0)表示的椭ab22圆几何性质：（2）从图形变化的角度：通过圆压缩变换为椭圆的动态演示，发现几何性质的改变，产生对椭圆性质的猜想，发现椭圆与圆类似的性质：对称性，范围，延伸的性质：顶点，离心率，由已知到未知的研究过程，培养学生的认知策略. 【学生学情分析】

1. 已有的知识储备：（1）本节课的授课对象是四星级中学高二年级的学生，学生已经掌握了直线与圆的方程，且基本掌握用解析法研究了直线和圆的几何性

质，已经掌握了椭圆、双曲线、抛物线的定义，椭圆的标准方程，已经具备了用椭圆方程研究几何性质的知识与方法储备.

（2）他们在经历了高一一学年的数学学习后，已经基本了解高中数学的基本思想和研究方法，具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力.

存在问题：将椭圆方程与几何性质联系起来，学生的推理论证能力还不够；

解决方法：通过复习解析几何基本思想，并且结合如何用圆的方程研究圆的对称性的具体事例，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验. 2. 教学难点：发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系；椭圆的离心率的发现与探究. 突破策略：（1）从数（方程）层面：类比利用圆的方程研究圆的对称性，范围，从而建立了学生用方程研究性质的学习经验；

（2）从形（性质）层面：类比圆压缩变换为椭圆（结合几何画板），

形（性质）发生了变化，产生直观认识，进而产生探究的主动。

【教学策略分析】

1. 精心设计教学内容

以解析思想为统领，设置恰当问题情境，以圆的性质研究为铺垫，引导学生通过类比明确研究方向，通过观察猜想椭圆性质，通过方程验证数学结论，共同经历“复习——实践——认识——再实践——再认识——应用——反思”的学习过程。

2. 充分开展学生活动

贯彻以学生为中心的教学理念，根据学生的思维特点和认知基础，让学生在动手探究和观察思考中生成知识，掌握方法，体会思想，形成技能，努力提高学生课堂学习的参与度。

3. 渗透提炼思想方法

从熟悉的圆到未知的椭圆，在研究路径上感悟类比思想；从直觉感知到代数推理，在研究方法上感悟数形结合思想。

【教学过程设计】

一、问题情境

重温思想

情境：同学们，美国数学史家，数学教育家莫里斯.克莱茵说：解析几何彻底改变了数学的研究方法.那么，

问题：解析几何一般研究方法是怎样的呢？

结论：解析几何是用代数方法研究曲线的几何性质.

【设计意图】通过回顾解析几何研究方法，引导学生用代数法研究几何问题.

子问题：圆心在原点半径为1的圆的方程是____________．①试用代数方法证明：

该圆关于y轴对称的.②若点P(x，y)为该圆上一点，求x的取值范围.课后作业，

拓展延伸

回顾反思，提炼收获

数学运用，巩固性质

以思想为载体

以类比为主线

合作探究，初探性质

类比方法，制定策略

问题情境，重温思想

类比图形，再探性质

结论：①在方程x2＋y2＝1中，以“－x”换“x”，方程不变，说明圆上任意一点P(x，y)关于y轴的对称点Q(－x，y)也在这个圆上，所以该圆关于y轴对称.

②因为x2＋y2＝1，则y2＝1x2≥0，所以x2≤1，则1≤x≤1. 【设计意图】(1)通过用代数方法研究对称性和范围问题，强化解几思想，同时为本课用椭圆方程研究几何性质提供示范；(2)选择关于y轴对称以及求x的范围，学生可以借鉴函数的相关学习经验。

小结：建立曲线的方程和通过方程研究曲线的性质是解析几何的两个基本问题.

上节课，我们已经建立了椭圆的方程，那么椭圆有哪些几何性质呢？我们又如何通过方程来研究呢？

【设计意图】通过举例，明确解析几何的两个基本问题，结合上节课的学习，明确本节课的任务，从而自然揭示课题. 二、类比方法 制定策略

问题:

你准备如何研究椭圆的几何性质？研究哪些性质？

研究策略：通过方程研究椭圆的几何性质. 研究内容：对称性，范围

【设计意图】（1）揭示课题，明确学习任务；（2）与圆相类比，明确研究方法。

三、合作探究 初探性质

2y2x学生活动:通过方程221(ab0)研究椭圆的对称性和范围.

ab结论：

对称性

范围

2（1）用“-x”，“-y”

y2（1）由21x2≥0，

同时代替“x”，“y”，方程

ba

不变，说明（x，y）在圆

22

x≤a则，

数（方程）

上，它关于原点的对称点

（x，y）也在圆上。

得a≤x≤a；

2同理，用“-y”代“y”，（2）同理，

x2y1(ab0)

（2）

方程不变

；

a2b2得b≤y≤b.

（3）同理，用“-x”代“x”，方程不变

；

形（性质）

O y

P(x，y) x （1）关于原点对称：

（2）关于x轴对称：

（3）关于y轴对称.

（1）-a≤x≤a；

（2）-b≤y≤b.

【设计意图】从学生已有认知水平和具备的基本能力出发，结合学习任务，让学生通过合作学习，进一步感悟解析几何的基本思想，从而提高学生解决问题的能力.

四、类比图形 再探性质

问题：“圆”压缩后变为“椭圆”，对称轴有无数条变为两条，椭圆中对称轴

与椭圆的交点称为顶点，请根据方程求出顶点？

顶点

（1）令y0，则xa；

2y2x数（方程）

221(ab0)

ab（2）令x0，则xb.

形（性质）

y O （1）A1(a,0),A2(a,0)；

P(x，y) x （2）B1(0,b),B2(0,b)；

（3）长轴长A1A22a，

短轴长B1B22b

【设计意图】从变换的角度明晰圆与椭圆的关系以及椭圆有别于圆的特性，进而得到椭圆顶点、长轴与短轴等概念。

问题：“圆”经过压缩变换后变为椭圆，压缩的程度不同会引起椭圆形状如何

变化？形状变化规律可以用什么量来刻画？（动画演示）

y动画1动画2O显示1显示2F1OF2x还原

结论：压缩程度不同会引起椭圆扁平程度不同，

1.形状变化与b有关.（1）b越接近0，椭圆越“扁”；

aa（2）b越接近1，椭圆越“圆”.

a2.形状变化与c有关.

（1）当c0时，b1，椭圆越“圆”；

aaa（2）当c1时，b0，椭圆越“扁”.

aa【设计意图】从圆到椭圆的动态变化，让学生直观认识到椭圆图形的自身性质“扁

平程度”，借助图形较直观的认知到椭圆的扁平程度与b有关或者与c有关。

aa子问题1：请从b与c的代数关系上解释对椭圆扁平程度影响的一致性. aa222acb结论：1c2

aaa（1）当c0时，b1，椭圆越“圆”；

aa（2）当c1时，b0，椭圆越“扁”.

aa子问题2：从椭圆定义出发，b与c哪个量更基本些？

aa结论：PF1PF22a2c，其中a,c是原始参数.

我们将焦距与长轴长的比c叫作椭圆的离心率，记为e，其中e(0,1).

a【设计意图】（1）通过代数推理，培养学生严谨的学习态度；（2）让学生回归本源，回归定义，弄清离心率概念的本质含义和实际意义。

y 2yx小结：方程221(ab0)

性质

A

1ab2B2

b c a A2

x F1

O F2

B1

O（中心）

x轴，y轴（对称轴）

点

A1，A2 ，B1，B2（顶点）

线

A1A2 ，B1B2（长轴，短轴）

F1，F2（焦点）

F1F2（焦距）

形

a≤x≤a，b≤y≤b（范围）

ec(0,1)（离心率）

a【设计意图】通过性质的研究，学生对图形有了更准确的认识，及时对性质认识

转化到图形上去，这是强化学生对图形认识的需要；同时，又对图形的性质按点，线，形进行了归类，有助于学生进一步理解性质.

五、数学应用 巩固性质

2y2x1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 例1 求椭圆2592y2x1，得：a=5，b=3，c2594，

解：根据椭圆的方程259所以，长轴长2a10，短轴长2b6，

离心率ec4，焦点(4,0)，

a5

y

顶点(5,0),(0,3). 2y2x1的性质，用描点法画出椭圆. 变式

结合椭圆2593 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 o

1 -1 -2 -3 2 3 4 5 x5 22将方程变形为y31x，根据y31x算出椭

2525圆第一象限内的点（如下表所示）:

x y 0 3 1 2.94 2 2.75 3 2.4 4 1.8 5 0 先描点画出第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图）.

【设计意图】通过例题1，让学生学会由方程研究曲线的几何性质，巩固了这节课的知识内容.变式让学生学会“由式说性”，并利用性质简化作图，进一步体会数形结合的思想。

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）中心在原点，长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于2；

3（2）“_______________________”，先在横线上添加适当的性质条件，再完成问题. 【设计意图】要求学生根据性质写出方程，即“由性定式”，及时巩固所学知识。而问题（2）具有一定的开放性，让学生进一步明确：确定椭圆的方程，首先要“定位”，然后再“定量”，培养学生严谨思维的能力。

（1）由已知2a12，ec2，得a6，c4，从而b2a2c220.又因为a32y2x1.

长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为3620六、回顾反思

提炼收获

通过本节课的学习，你学习了椭圆的哪些几何性质？有哪些收获？还有什么

疑惑？

知识内容：椭圆的几何性质：（1）范围；（2）对称性；（3）顶点；（4）离心率. 学习过程：（1）由圆类比到椭圆；（2）由图形猜想性质，由方程验证性质.

数学思想：类比思想，数形结合思想.

【设计意图】培养学生学习——总结——学习——反思的良好习惯，巩固所学知识，掌握研究策略，凸显解析几何的思想.

七、课后作业

拓展延伸

必做题：课本P33

第1、3、4，5题

2y2x选做题：

请结合方程：221(ab0)验证长轴和短轴分别是过

ab中心的弦中最大值和最小值.

y2x2思考题：请结合方程：221(ab0)研究焦点在y上椭圆的几何性质.

ab【设计意图】（1）检测学习效果；（2）关注个体差异；（3）培养探究能力.