2.4.1 抛物线的标准方程教学评价实录

抛物线的标准方程

教材分析

抛物线的标准方程是苏教版教材选修21第二章第四节的内容。是在学生已学习了圆锥曲线的第一定义，学习了椭圆与双曲线的方程与几何性质后，学习抛物线的标准方程。通过本节课的学习，学生进一步巩固学习圆锥曲线的一般方法，从定义到方程，通过建立适当的平面直角坐标系获得标准方程的一般解法。

教学目标

知识与技能：掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程。

过程与方法：学生根据抛物线的定义，类比椭圆与双曲线的研究方法，将几何问题代数化，掌握解析几何的基本思想，在建系过程中掌握分类讨论的思想。

情感态度与价值观：本节课通过小组讨论、自主探究等活动方式，提升获取知识的能力，增加团队合作和深入专研的意识；通过对抛物线标准方程的探索培养学生的探究精神，科学精神，以及感受抛物线在生产生活实际中的应用，让学生感知数学来源于生活，应用于生活。

教学重点、教学难点

教学重点：抛物线的标准方程

教学难点：抛物线的标准方程

教学方法、教学手段

教学方法：以问题为驱动

合作交流

自主探究

教学手段：多媒体教学

实物投影教学

教学过程：

一、

情境引入

情境一：同学们，生活中有一些几何图形，例如喷泉喷出的水注形成的图形，这是抛物线。由于抛物线具有一些特殊的几何性质，在生产实际中也有应用，例如探照灯的内壁是由抛物线旋转而成；再如太阳灶，太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获得能量，进行烹饪的一种装置。太阳灶轴截面的外轮廓是抛物线。如图，假设有一个太阳灶装置它的轴截面如图，你能知道它的聚光点在什么位置吗？

情境二：如何解决上面的问题，就离不开精确的计算，类比对椭圆和双曲线的研究我们知道，首先要研究抛物线的标准方程。这就是我们今天所要研究的内容：抛物线的标准方程。

问题1：抛物线的定义是什么？

学生回答：平面内与一个定点F和一条定直线l(F不再l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定20.2

1

点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

问题2：如何由抛物线的定义探究标准方程？类比椭圆与双曲线的学习，经历哪些步骤？

学生自主探究得到：建系→设点→列式→化简整理

问题3：观察图形的对称性，对称轴？对称点？如何建系？

师生共同探究总结：根据图象的对称性，可能有四种建立平面直角坐标系的方法。

KAFHlM(x,y)

设焦点到准线的距离为p

二、

学生活动

问题4：按照小组的顺序请你选择一个坐标系，探求抛物线的方程

学生活动：小组探究

合作交流

p0如图所示，建立直角坐标系，设KFp（）, ppx(,0)2，

那么焦点F的坐标为2，准线l的方程为y H M(x，F x 设抛物线上的点M(x,y)，则有2化简方程得

y2px(xp2p)y2|x|22．

K O l p0．

2

方程y2pxp0叫做抛物线的标准方程．

小组活动：投影展示其他小组的研究成果，小结抛物线的标准方程。

三、

数学建构

2

图形

l 焦点

x 准线

标准方程

y

O F y

l x F O y

x F O l

y l

O

F x

问题5：观察图形与对应的方程，有什么相同点与不同点？如何根据方程判定焦点的位置？

相同点：

（1）抛物线都过原点；

（2）焦点在x轴上的抛物线的对称轴为x轴，焦点在y轴上的抛物线的对称轴为y轴；

（3）准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称；它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的14，即2pp．

42不同点：

（1）图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为2px、左端为y2；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为2py，左端为x2．

（2）开口方向在x轴（或轴）正向时，焦点在x轴（或在x轴（或

四、

数学应用

例1 求抛物线y24x的焦点坐标和准线方程。

解: 2p4,即p2

y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号．

y l F O F x l 3 y 抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1。

问题：若yx2，情况如何？

小结：根据方程结构，分析图形形状，数形结合。

O x

例2 求经过P(2,4)的抛物线的标准方程。

y解：如图，点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程有两种情况：

y22p1x(p10)和x22p2y(p20)

x分别代入点P的坐标可以解得：p14,p21. 2P因此，满足题意的抛物线有两条，它们的标准方程分别为：

y8x和xy. 22小结：求抛物线方程时，应首先考虑其开口方向，确定标准方程的形式后，再用待定系数的方法求解，即先定形，再定量。

例3情境中已知太阳灶装置它的轴截面如图，根据抛物线的光学特点，平行于抛物线的对称轴的光线经过抛物线壁的反射，光线汇聚于焦点处，你能知道它的聚光点在什么位置吗？

解：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y22px(p0)，则由题意知A(0.2,1)，代入方程得p55，所以焦点F(,0)。

2420.2yAox

五、

巩固练习

1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．

（1）y2＝8x

（2）x2＝4y （3）2y2＋3x＝0

（4）1yx2

62．根据下列条件写出抛物线的标准方程．

（1）焦点是F（－2，0）．

（2）准线方程是y1．:学科网ZXXK]

3（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上．

4

六、

反思小结

1.

研究圆锥曲线标准方程得一般方法

2.

抛物线的标准方程

七、

课后作业

教材53页习题

1～5

5