3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计一等奖

江维中学高二理科数学选修2-1教学案

编号：096-097

主备：杨小兵

辅备：金华

审核：杨芳

3.1.3

空间向量的数量积

【教学目的】

1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决

立体几何中的一些简单问题。

【教学重难点】

空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

【教学过程】

【基础过关】

1．空间向量的夹角

(1)如图，已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA＝a，

．

OB＝b，则

∠AOB 叫做向量a、b的夹角，记作〈a，b〉π(2)向量a、b的夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，

2那么称向量a、b互相垂直，记作a⊥b. 2．空间向量的数量积

(1)定义：

已知两个非零向量a、b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a、b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a|| b cos〈a，b〉．

(2)运算律：

①(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a ；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．空间向量数量积的性质

序号

①

②

③

④

⑤

性质

a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量) 若a、b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2

a·b若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝

|a||b||a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立) [点睛]

(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；

(2)向量数量积的运算不满足乘法的结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．

【合作探究】

题型一 空间向量的数量积的运算

[例1]

如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是AB，AD的

BA；

(2)

EF·BD；

中点，求值：

(1)

EF·(3)

EF·DC；

(4)

AB·CD. 1111BA＝2BD·BA＝2|BD||BA|·[解]

(1)

EF·cos〈BD，BA〉＝cos 60°＝. 24111BD＝2BD·BD＝2|BD|2＝2. (2)

EF·1111(3)

EF·|DC|cos〈BD，DC〉＝cos 120°＝－. DC＝2BD·DC＝2|BD|·24(4)

AB·(AD－AC)＝AB·AD－AB·AC

CD＝AB·＝|AB||AD|cos〈AB，AD〉－|AB||AC|cos〈AB，AC〉＝0. 类题通法：求向量的数量积的关键是求两个向量的模和夹角，而该题目所给的四面体各棱长均为1，每个面都是正三角形，每个角都是60°，因此可结合这一特点进行分解，然后再具体求解数量积的值．

1

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编号：096-097

主备：杨小兵

辅备：金华

审核：杨芳

[活学活用]

1．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(

) A．1

B．2

C．3

D．4 解：

∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，

∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.

选A 2．在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，

G为△ABC的重心，则OG·(OA＋OB＋OC)＝________. 解：由已知OA·OB＝OA·OC＝OB·OC＝0，且OG＝OA＋OB＋OC3，

11故OG·(OA＋OB＋OC)＝(OA＋OB＋OC)2＝(|OA|2＋|OB|2＋|OC|2) 33114＝(1＋4＋9)＝. 33题型二

利用空间向量的数量积求夹角

[例2]

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求BC1与AC夹角的大小．

解: 不妨设正方体的棱长为1，

则BC1·AC＝(BC＋CC1)·(AB＋BC) ＝(AD＋AA1)·(AB＋AD) ＝AD·AB＋AD2＋AA1AB＋AA1·AD

＝0＋AD2＋0＋0＝AD2＝1，

11又∵|BC1|＝2，|AC|＝2，

∴cos〈BC1，AC〉＝＝＝

2×22|BC1||AC|ππ∵〈BC1，AC〉∈[0，π]，

∴〈BC1，AC〉＝.

即BC1与AC夹角的大小为

33

类题通法：

(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量起点平移到与另一个向量的起点重a·b合转化为求平面中的角的大小．(2)由两个向量的数量积定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大|a||b|小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求〈a，b〉的大小．在求a·b时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来，进而化简得出a·b的值．

[活学活用]：

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2，

求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．

解：∵BA1＝BA＋AA1＝BA＋BB1，AC＝BC－BA，

BC1·ACBA＝BB1·BC＝BB1·BC＝0，

且BA·∴BA1·AAC＝－BA＝－1.

又|AC|＝2，|BA1|＝1＋2＝3，

－166∴cos〈BA1，AC〉＝＝＝－，则BA1与AC所成角的余弦值为

666|BA1||AC|题型三

利用空间向量的数量积证明垂直

2 2BA1·AC

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审核：杨芳

[例3]

已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC. [证明]

∵AB⊥CD，AC⊥BD，

∴AB·BD＝0. CD＝0，AC·∴AD·(AC－AB) BC＝(AB＋BD)·＝AB·AC＋BD·AC－AB2－AB·BD

＝AB·AC－AB2－AB·BD

＝AB·(AC－AB－BD)＝AB·DC＝0.

∴AD⊥BC，从而AD⊥BC. 类题通法：

当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零．利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定．

[活学活用]

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.

证明：设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|. 111∵A1O＝A1A＋AO＝A1A＋(AB＋AD)＝c＋a＋b，

222BD＝AD－AB＝b－a，

OG＝OC＋CG＝2(AB＋AD)＋2CC1＝2a＋2b－2c. 11112121c＋a＋b·∴A1O·(b－a)＝c·b－c·a＋a·b－a＋b－b·a

BD＝22222211＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.

于是A1O⊥BD，即A1O⊥BD.

22同理可证A1O⊥OG，即A1O⊥OG.

于是有A1O⊥平面GBD.

题型四

利用空间向量数量积求距离(即线段长度)

[例4]

在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且|MB|＝2|AM|，

1|CN|＝|ND|，求|MN|. 2[解]

∵MN＝MB＋BC＋CN

21112＝AB＋(AC－AB)＋(AD－AC)＝－AB＋AD＋AC. 33333124414MN＝9AB2－9AD·AB－9AB·AC＋9AC·AD＋9AD2＋9AC2

∴MN·1122145＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2. 9999999故|MN|＝

11111MN·MN

＝3a.

即|MN|＝3a.

55类题通法：

求两点间的距离或线段长度的方法

3

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(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；

(3)利用|a|＝a2，通过计算求出|a|，即得所求距离．

【当堂检测】

1．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是(

) A．60°

B．120°

C．30°

D．90°

132解：

a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e2－e·e－2e＝1－1×1×－2＝－，

112222|a|＝a2＝e1＋e22＝e2e2＋e21＋2e1·2＝1＋1＋1＝3，

|b|＝b2＝e1－2e22＝e2e2＋4e21－4e1·2

＝1－2＋4＝3. 32a·b1∴cos〈a，b〉＝＝＝－.

∴〈a，b〉＝120°.

选B

|a||b|32－

2．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________. 解：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，

∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.

3. 如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，

PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．

解：∴PC＝PA＋AD＋DC，

∴|PC|2＝(PA＋AD＋DC)2

＝|PA|2＋|AD|2＋|DC|2＋2PA·AD＋2AD·DC＋2DC·PA

＝62＋42＋32＋2|AD||DC|cos 120°

＝61－12＝49. ∴|PC|＝7，即PC＝7.

4