1.3.1 且（and）第一课时教学实录

淘出优秀的你

1.3.1 且（and）

教材分析:

简易逻辑知识与其他内容有着紧密联系，它们是学习掌握和使用数学语言的基础，是高中数学的重要内容，简易逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具，它和集合知识一样，都是学习、掌握和使用数学语言的基础．逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科，学习数学需要全面的理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习和工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分．

教学目标:

知识与技能

(1)通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“且”的含义；

(2)掌握真值表并会应用真值表解决问题．

过程与方法

在观察和思考中，在解题和证明中，本节课要特别注重学生思维品质严密性的培养．

情感、态度与价值观

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度和积极进取的精神．通过探究学习培养学生合作交流的良好习惯和品质，培养学生独立思考、锲而不舍的钻研精神．

重点难点:

教学重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容．

教学难点：正确理解命题“p∧q”真假的规定和判定；简洁、准确地表述命题“p∧q”．

教学过程

1、引入新课

在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地犯逻辑性的错误，其实，同学们在初中就已经开始接触一些简易逻辑的知识．

在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”．在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同．

www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716

淘出优秀的你

提出问题：你能举出一些这样的例子吗？

活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．

活动结果：学生会举出很多这样的例子，例如菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分．三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似．

下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法．

探究新知

提出问题：下面有两组命题：

(1)①12能被3整除；

②12能被4整除；

③12能被3整除且能被4整除．

(2)①27是7的倍数；

②27是9的倍数；

③27是7的倍数且是9的倍数．

每组三个命题间有什么关系？

活动设计：学生先自由发言，教师逐步引导学生利用命题的构成来考虑这个问题．

活动结果：在第(1)(2)组命题中，命题③都是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题．

(板书)一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．

设计意图：从熟知的知识出发，让学生充分体会“且”的含义，以及用“且”把两个命题进行联结得到复合命题．

理解新知

提出问题

问题1：我们这一节所学的“且”和日常生活以及语文上的“且”是否一样呢？

活动设计：学生先独立思考，然后小组合作交流．

活动结果：与语文及生活上的“且”有相同的意思，但是也会有不同，通过这一节，我们来学习体会．这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”“并且”“以及”“既…又…”等相当，表明前后两者同时兼有，同时满足．

问题2：命题“p∧q”即命题“p且q”中的“且”字与命题“若

x∈A且x∈B，则x∈A∩B”中www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716

淘出优秀的你

的“且” 字的含义相同吗？

活动设计：学生结合“p且q”进行独立思考，充分理解逻辑思维的重要性．

活动结果：相同，都具有同时满足的意思．

设计意图：进一步从各个方面来理解“且”的含义．

问题3：既然“p且q”是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的一个新命题，它就能够判断真假，那么如何判断呢？

活动设计：学生结合“且”的含义，对于用“且”联结的两个命题组成的复合命题，真假如何判断进行思考．

活动结果：引导学生分析前面所举例子中命题p，q以及命题“p∧q”的真假性，概括出这三个命题的真假之间的关系的一般规律．

(板书)当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．

p q p且q

运用新知

1将下列命题分别用“且”联结成新命题，并判断它们的真假．

(1)p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；

(2)p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；

(3)p：35是15的倍数，q：35是7的倍数．

思路分析：将两个命题用“且”进行联结，要写得简洁；判断真假，要判断每一个命题的真假．

解：(1)p∧q：平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等．

也可简写成：

平行四边形的对角线互相平分且相等．

由于p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题．

(2)p∧q：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分.

也可简写成：

www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716

真

真

真

真

假

假

假

真

假

假

假

假

淘出优秀的你

菱形的对角线互相垂直且平分．

由于p是真命题，q也是真命题，所以p∧q是真命题．

(3)p∧q：35是15的倍数且35是7的倍数.

也可简写成：

35是15的倍数且是7的倍数．

由于p是假命题，

q是真命题，所以p∧q是假命题．

点评：在用“且”联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的原意不变．

2用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假．

(1)1既是奇数，又是素数；

(2)2和3都是素数．

思路分析：将两个命题用“且”进行联结，要写得简洁，且意思不能改变，判断真假，要分别判断两个命题的真假，进而得到“且”命题的真假．

解：(1)命题“1既是奇数，也是素数”可以改写为“1是奇数且1是素数”．因为“1是素数”是假命题，所以这个命题是假命题．

(2)命题“2和3都是素数”可以改写为“2是素数且3是素数”．因为“2是素数”与“3是素数”都是真命题，所以这个命题是真命题．

点评：在用“且”联结新命题时，要写得合理，判断时要具备应有的基础知识．

变式：指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题．

(1) 24既是8的倍数，也是6的倍数；

(2) 李强是篮球运动员，也是跳高运动员；

(3)10能被2整除，也能被5整除；

(4)矩形的对角线互相垂直平分．

2x－x－6≤0，3设命题p：实数x满足x－4ax＋3a<0，其中a>0，命题q：实数x满足2

x＋2x－8>0.22

若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．

思路分析：本题反其道而为之，已知p∧q为真命题，从而判断出p与q的真假，根据p、

q的真假去解题．

解：由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0，

又a>0，所以a

www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716

淘出优秀的你

当a＝1时，1

x＋2x－8>0，

若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2

点评：本题的关键是由若a＝1，且p∧q为真，得出q为真命题，p为真命题，也可以把a＝1直接代入求解．

变练演编

1．判断下列命题的形式及真假．

(1)12是48且是36的约数；

(2)梯形的对角线互相垂直且平分．

2．分别写出由下列各组命题构成的“ p且q”形式的命题，并判断真假．

(1) 命题p：矩形有外接圆；命题q：矩形有内切圆．

(2)命题p：方程x2＋1＝0有实数根；命题q：方程x2＋1＝0的两根相等．

思路分析：第1题中判断一个复合命题的真假，须先判断简单命题的真假．第2题中将两个命题用“且”进行联结，然后再判断命题的真假．

答案：1.(1)p∧q

真

(2)p∧q

假

2．(1)矩形既有外接圆又有内切圆．

假命题

(2)方程x2＋1＝0有实数根且两根相等．

假命题

达标检测

1．判断下列命题的真假：

(1)正方形ABCD是矩形，且是菱形；

(2)5是10的约数且是15的约数；

(3)5是10的约数且是8的约数；

(4)x2－5x＝0的根是自然数．

2．分别判断由下列各组命题构成的p且q形式的复合命题的真假：

(1)p：2＋2＝5；

q：3>2. (2)p：9是质数；

q：8是12的约数．

(3)p：1∈{1,2}；

q：{1}(4)p：{0}；

q：{1,2}．

＝{0}．

www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716

淘出优秀的你

答案：1.解：均为“p且q”形式：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假．

(1)p真q真，∴“p且q”为真．

(2)p真q真，∴“p且q”为真．

(3)p真q假，∴

“p且q”为假．

(4)p真q真，∴“p且q”为真．

2．解：(1)p且q：2＋2＝5且3>2，∵p假q真，∴“p且q”为假．

(2)p且q：9是质数且8是12的约数．

∵p假q假，∴“p且q”为假．

(3)p且q：1∈{1,2}且{1}{1,2}．

∵p真q真，∴“p且q”为真．

(4)p且q：{0}且＝{0}．

∵p真q假，∴“p且q”为假．

课堂小结

1．知识收获：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.

p q p且q

真

真

真

真

假

假

假

真

假

假

假

假

2.方法收获：

从集合的“交”运算理解“且”的含义：“且”是最基本的逻辑联结词，如同集合的基本运算有“交”一样，逻辑联结词“且”也可以看作对命题的一种“运算”，两个命题经过“运算”后仍然是一个命题．

3．思维收获：类比思想．

布置作业

习题1.3

A组

1 (2)(4)、2 (1) . 补充练习

基础练习

1．分别指出由下列各组命题构成的“p且q”形式的复合命题的真假：

(1)p：方程x2＋1＝0有实数根；q：方程x2－1＝0的两根相等．

www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716

淘出优秀的你

(2)p：等腰三角形两底角相等；q：等腰三角形为锐角三角形．

2．已知命题p：正方形的两条对角线互相垂直；命题q：正方形的两条对角线相等，写出命题

“p且q”，并指出真假．

3．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假．

(1)5和7是30的约数．

(2)平行四边形的对角线互相垂直平分．

答案：1.(1)p且q为假；(2)p且q为假．

2．p且q：正方形的对角线互相垂直且相等．(真命题) 3．(1)是“p且q”的形式．其中p：5是30的约数；q：7是30的约数，为假命题．

(2)是“p且q”的形式．其中p：平行四边形的对角线互相垂直；q：平行四边形的对角线互相平分；为假命题．

拓展练习

已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p且q为真，求m的取值范围．

解：由命题p且q为真，可知命题p、q都为真命题，

由p命题为真可解得m＞2，

由q命题为真可解得1＜m＜3；

所以2

www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716