习题2.1名师教学实录

双曲线

[目标] 1．掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程．

2．掌握双曲线的几何性质．

3．了解双曲线的一些实际应用．

[重点]

双曲线的定义、标准方程，双曲线的几何性质．

[难点]

双曲线的定义、标准方程，双曲线的几何性质的应用

自主梳理

1．双曲线的定义

(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；

(3)这一定值一定要小于两定点的距离．

2.双曲线几何性质

y2x2标准方程

x2y2a2－a2－b2＝1(a>0，b>0)

b2＝1(a>0，b>0) 图形

范围

x≥a或x≤－ax∈R，y≤－a或，y∈R

y≥a

对称性

对称轴：坐标轴

对称中心：原点

性顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)

A1(0，－a)，A2(0，质

a) 渐近线

y＝±bax y＝±abx

离心率

e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2实虚轴

叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．

a、b、c 2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 的关系

c3.直线与双曲线的位置关系：

(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20

若b2a2k20,即kba，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点；若b2a2k20,即kba，

①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；

②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；

③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．

【例1】 (1)设双曲线x2y2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝(

) A.1＋22 B.4－22 C.5－22

D.3＋22 (2)已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，66)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________.

【训练1】 (1)如果双曲线x2y24－12＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是(

) A.4 B.12 C.4或12

D.不确定

(2)已知点P为双曲线x2y216－9＝1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为(

) A.27 B.10 C.8 D.6

x2【例2－1】已知M(x)是双曲线C：→2－y2＝1上的一点，FC的两个焦点，若MF→0，y01，F2是1·MF2<0，则y0的取值范围是(

) A.－3，3332233 B.－6，6 C.－，223

D.－233，2333

(1))已知Fx22－2】y2【例1，F2是双曲线E：a2－b2＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF12F1＝3，则E的离心率为(

) A.2 B.32 C.3 D.2 (2)已知双曲线x2y2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(

) 22222A.x224－y＝1 B.x2－y3x4＝1 C.3y20－5＝1

D.3x3y5－20＝1

【训练2】 (1))设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是(

)

A.23233，2 B.233，2 C.233，＋∞

D.3，＋∞

(2)已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A右焦点为F→→1，2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为________.

x2y2【例3】 (1)已知椭圆x2y2a2＋9＝1(a＞0)与双曲线4－3＝1有相同的焦点，则a的值为(

) A.2 B.10 C.4 D.34 (2)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.

x2y2【训练3】已知双曲线4－b2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(

) A.x23y2x24y2x2y2x2y24－4＝1 B.4－3＝1 C.4－4＝1

D.4－12＝1

[思想方法] x2y21.与双曲线x2y2a2－b2＝1 (a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为a2－b2＝t (t≠0).

2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x2y2x2y2a2－b2＝0就是双曲线a2－b2＝1 (a>0，b>0)的两条渐近线方程.