1.4.3 含有一个量词的命题的否定名师课堂实录

含有一个量词的命题的否定

教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用. 教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；

教学难点：隐蔽性否定命题的确定；

教学过程：

一、引入

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，pq,pq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

问题1：下列命题中含有哪些量词？

（1）对所有的实数x，都有x2≥0；

（2）存在实数x，满足x2≥0；

（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；

（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；

（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得

s = n × n；

（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有

s = n × n；

上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。

问题2：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？

（1）方程2x=5只有一解；

（2）凡是质数都是奇数；

（3）方程2x2＋1=0有实数根；

（4）没有一个无理数不是实数；

（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；

（6）集合A∩B是集合A的子集；

二、新课讲解

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为：

xM,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

2.关键量词的否定

词语

词语的否不是

定

至多有一词语

必有一个

至少有n个

个

所有x成立

立

定

三、例题讲解

例1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；

（3）xR，x-2x+1≥0 分析：（1）xM,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；xM,p(x)

（2）xM,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；xM,p(x)

（3）xM,p(x)，否定：xR，x-2x+1<0；xM,p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

例2：写出命题的否定

2（1）p：

x∈R，x＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有些函数没有反函数；

（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1） xR，x2＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

变式练习1、

写出下列命题的否定。 （1）

若x＞4 则x＞2.。 （2）

若m≥0,则x+x-m=0有实数根。 （3）

可以被5整除的整数，末位是0。 2222是

一定是

都是

大于

小于

且

一定不是

不都是

小于或等于

大于或等于

所有x不成或

词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个有

个

个

成立

成立

（4）

被8整除的数能被4整除。 （5）

若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 2解（1）否定：存在实数x0，虽然满足x0＞4，但x0≤2。或者说：存在小于或等于2的数x0，2满足x0＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x＞4 则x＞2）

22（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x0+ x0-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x+x-m=0有实数根。）

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除) （5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

变式练习2、

写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；

（2）p：若x+x﹤2,则x-x﹤2；

（3）p：正方形的四条边相等；

（4）p：已知a,b为实数，若x+ax+b≤0有非空实解集，则a-4b≥0。

解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y；

假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2） P：若x+x﹤2，则x-x≥2；真命题

否命题：若x+x≥2，则x-x≥2）；假命题。

（3）

P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4）

P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a-4b﹤0。假命题。

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a-4b﹤0。真命题。

四、小结

1、

全称命题P：

xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立。22222222222

存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为： xM,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

2、含特殊量词的否定

五、作业

1、课后练习

2、优化方案第一课时与第二课时