3.1.2 导数的概念第二课时教学实录

3.1.2导数的概念

教学内容：导数的概念以及求函数在其定义域内某点处的导数的方法步骤

教学目标：

知识与技能目标：

1．了解导数概念的实际背景，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会用定义求函数在某点的导数

过程与方法目标：

1.通过实例分析，引导学生用平均速度去求瞬时速度，体验由已知探究未知的数学方法，让学生亲自计算，在计算过程中感受逼近的趋势，并经历观察、分析、归纳、发现规律的过程。

2.引导学生以瞬时速度为基点，从特殊到一般，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，理解导数就是瞬时变化率

3.通过问题的探究，培养学生的探究意识和探究方法. 情感、态度与价值观目标：

通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用，认识学习导数的必要性，从而激发学生学习导数的兴趣. 教学重点：

导数概念的形成过程及导数概念的内涵，用定义求函数在某点的导数

教学难点：

对导数概念的理解．

教学准备：

准备学案，投影仪，计算器

教学方法：

引导探究法：设疑——点拨——引导——探究。

教学设计：

教学环节

教学内容

设计思想

师生活动

1.让学生回忆上一节课的内容，在上一节课的基础上进入本1.提问一学生1.复***均变化率的求解步棸：函数yf(x)节课的学习。

回答，其他学生yf(x2)f(x1)2.从实际问从x1到x2平均变化率为，函数从在演草纸上写题出发，使学生xx出。

意识到平均速度

创x0到x0x的平均变化率如何表示呢？

2.在10米高台跳水运动中，运动员相对水面的高度只能粗略地描述 2、设提问一学情h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关物体在某段时间生演板计算平景

系：

其他学内的运动状态，均速度，引h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10. 为了能更精确刻生在演草纸上入计算平均速度。

画物体的运动状计算运动员在时间段2,2t里的平均速度. 新

态，有必要研究教师给出：我们求出了运动员在这段时间的平均速度，课

3.教师总结引但平均速度并不能反映运动员在某一时刻的速度，那么某个时刻的速入课题

我们如何求运动员在某一时刻的速度呢？这一节课我们度，这样能激发

就来解决这样一个问题。

学生求知的欲

板书课题 3.1.2导数的概念

望，从而使学生从“要我学”变成了“我要学”。)

1

学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，同时培养学生的动手操作能力，通过亲自取t，亲自计算，亲身感受逼近的引趋势。直观感受导vh(2t)h(2)4.9t13.1 的值

，变化。

t探

究

完成下表： 借助数据，归纳、探求导数Δt Δt v

v

的概念. Δt =-0.1 v= Δt =0.1 v= 培养学生的Δt =-0.01 Δt =0.01 v= v= 探究意识和探究Δt =-0.001 方法，培养学生v= Δt =0.001 v= 的动手操作能Δt =-0.0001 v= Δt =0.0001 v= 力. Δt =-0.00001 Δt =0.00001 v= v= ………. …. ……. …

瞬时速度

在高台跳水问题中，运动员在不同时刻的速度是不同的。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，t2时的瞬时速度如何求运动员的瞬时速度呢？比如：是多少？

思考讨论：t=2s的瞬时速度与t=2s附近的平均速度有什么关系呢？

讨论结果：我们可以计算t=2s附近的平均速度，细致观察它附近平均速度的变化情况，来求瞬时速度。

当t取不同值时,尝试计算1、教师带领学生总结瞬时速度的概念. 2.共同讨论得到求瞬时速度的方法。

3、全体同学共同计算，学生分四个小组，前两个小组计算当t＜0时的平均速度；另外两组计算当t＞0时的平均速度完成学案上的表格。

4、学生观察表格，发现变化趋势

问题1：当t趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？

学生总结：（1）当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

自

主

探

究一

（2）从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，时间段就趋近于某一时刻，则这一时间段的平均速度v就无限趋近于t=2时的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

教师总结：为了表述方便，我们用搭建平台，自主交流.

简洁的符号表示，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美. 分组讨论.

抽学生代表展示讨论结果. 教师讲解，分析t=2s时的瞬时速度的表示方法

h(2t)h(2)13.1

t0tlim表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”。

2

自

主

探

究二

问题：运动员在某时刻t0的瞬时速度怎样表示？

学生答：limh(t0t)h(t0). t0t这种特殊到一般、用已知去发现未知的思考方法，有利于学生深刻理解导数内涵。

先学生思考，之后一学生回答，教师板书. 1、核心探究，揭示导数概念：

问题5：:函数f(x)在xx0处的瞬时变化率怎样表示？

引导学生舍弃学生答：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 具体问题的实际f(x0x)f(x0)f意义有具体问题limlim x0x0xx抽象出数学问教师总结给出导数的概念：

题，由浅入深、由易到难、有特yf(x)在xx0处的导数.记作

殊到一般，帮助f(x0x)f(x0)f(x0)lim(也可记为yxx). 学生完成思维的0x0x飞跃。

教师引导学生总结出导数概念中需要注意的内容： 水到渠成，揭自（1）

函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在，示本质。学生有主

前面问题做铺探垫，教师引导学导数与函数在x0附近的函数值有关，与t无关

；

究生与瞬时速度作三

（2）导数就是瞬时变化率，导数可以描述任何事物的比较，用平均变化率取极限就可瞬时变化率，比如高度h关于时间t的导数就是运动员以写出f(x)在x0的瞬时速度；气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬处的瞬时变化时膨胀率

率。师生共同写2、求导步骤：

出

（1）求函数的增量

yf(x0x)f(x0);

结合具体问题的实际意义,抽yf(x0x)f(x0);

（2）求平均变化率象出导数与瞬时xx变化率的关系. y

.

（3）求导数f(x0)limx01、提问一学生，教师讲解要点：

（1）瞬时变化率

（2）导数的概念；

2、让学生从定义中总结求导步骤，一学生回答求导步骤，教师板书.

x简记为：一差；二比；三求导。

3

3.导数在生产生活中的作用

十七世纪，力学，航海，天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，其中两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度，二是求已知曲线的切线。

有导数的定义我们知道：高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度；气球半径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率。

实际上导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值的增长率等等。

感受导数在解决实际问题中的作用，了解导数的文化价值.

养学生阅读课本的习惯，让学生明白：导数可以描述任何事物的瞬时变化率，体会学习导数的重要性。

学生阅读，教师简单介绍导数产生的背景及生活生产中的作用.

4

1.典例分析

基础巩固：

2例1. 求函数y=3x在x=1处的导数. 教师分析：我们可以利用导数的定义，以及求导的步骤来做。 解：因为 yf(1x)f(1)3x26x

故y3x6 所以

xx0

f(1)lim(3x6)6

1.例1教师展示完整的求导过程. 2、例2教师提示,全体同学在练习本上求函数在2h、 6h时的温度的瞬时变化率. 找第一，第二两组的代表上讲台演板。

教师评讲解题过程.

能力提升：

例2.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油强调求导数计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说的基本步骤，巩固导数的概念. 明它们的意义．

以具体问题教师分析：导数可以描述任何事物的瞬时变化率。

知为载体，让学生解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率识熟悉导数，加深应对导数内涵的理就是f'(2)和f'(6)

用

解，体验数学在f(2x)f(x0)f（1）根据导数定义，

实际生活中的应用，发展学生的xx应用意识. (2x)27(2x)15(227215)x3x 所以f(2)lim的温度（单位：C）为f(x)x27x15(0x8)，flim(x3)3

x0xx0（2）同理可得:f(6)5（让学生自己

写出计算过程演板）

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．一般地，f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．

引导学生再次归纳的到：导数即瞬时变化率，可反映物体在某一时刻变化的快慢。

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2.课堂练习

有效训练

练习：在例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 当堂检测

1. yx2在

x=1处的导数为（

）

A．2x

B．2

C．2x

D．1 2. 函数f(x)1在x2的导数等于

强化双基，提高学生的运算能力.从而更好的掌握本节课的知识。

通过抢答评比，更能激发学生的学习兴趣，参与到课堂中来。

1、第三，第四两组的学生代表一人在黑板上做一题。其他同学在下边练习本上做。

哪一组的代表做对，哪一组得到5分。哪一组组员做对的多，哪一组再得5分。同桌互评。

2.让学生抢答，哪一组同学抢答到，并回答正确，给哪一组加上3分）

教师讲评并给各小组加分，最后，看哪一组的同学得分之和最多，评出本节课的明星小组。

归纳总结

1．导数的概念

2.

导数概念的形成过程：

平均变化率 瞬时变化率 导数

f(x0x)f(x0)y

f(x0)limlimx0xx0x3.利用导数的定义求导，步骤为：

第一步，求函数的增量yf(x0x)f(x0)；

第二步：求平均变化率y；

x引导学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的自主学习习惯. 学生小结，其他人补充、完善. 教师归纳总结 . y. x0x简记为：一差；二比；三求导。

4.导数的作用：导数可以描述任何事物的瞬时变化率

第三步：求导数f(x0)lim1. 高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度是：h(t)4.9t26.5t10(单位: m),求运动员在t1s时的瞬时速度,并解释此时的运动状况. 2. 一质量为3kg的物体作直线运动,设运动距离作业s(单位：cm)与时间（单位：s）的关系可用函数s(t)1t2布12表示，并且物体的动能Umv. 求物体开始运动后第置

25s时的动能. 3.求函数y=2x2+4x在x=3处的导数

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