2.4.1 抛物线的标准方程教学设计思路

《抛物线的标准方程》教学设计

江苏省苏州中学 江小娟

课题背景：《抛物线的标准方程》的教学安排在椭圆和双曲线教学内容之后，圆锥曲线统一定义之前，起到起承转合的作用。由于其定义是圆锥曲线统一定义的一个分支，学生在学习抛物线后，再引入圆锥曲线的统一定义，易于学生由浅入深、由特殊到一般、由片断到系统的掌握，有利于提升学生的抽象思维和概括能力。

教学目的：

1.

掌握抛物线的标准方程；

2.

能根据已知条件求抛物线的标准方程。

教学重点：抛物线标准方程的建立。

教学难点：如何从“数”和“形”两个角度理解抛物线及其标准方程。

教学过程：

一．

创设情境，引入问题

抛物线定义的引入，不能类似引入双曲线的定义一样，可以和椭圆进行类比得到；也不能直接给出定点定直线来得到定义，会显得十分突兀。那么，以什么作为切入点，会比较自然且易于被学生接受呢？从数学发生发展的角度来说，“二次函数”是一个很好的载体。在初中，学生学习过二次函数，并且知道二次函数就是抛物线。学生还知道二次函数的表达式和图象，这对高中阶段继续学习抛物线，提供很好的理论基础和直观想象。

对“抛物线”和“二次函数”这两个数学名词，学生在初中阶段只是接受了这个概念，并划上了等号，并不知其中缘由。在本节课，我们需要带着这个问题进入“抛物线”，并需要在教学过程中解决“为什么二次函数就是抛物线”这个问题。

师：一个精彩的投篮，篮球在空中划出一道美丽的曲线。这条曲线，在我们数学中被称为：抛物线。大家知道“抛物线”这个数学名词吗？其实我们初中的时候就接触过抛物线。大家想想，初中学过哪条曲线是抛物线？

生：二次函数的图象！

师：对！今天，我们继续研究抛物线。什么样的曲线可以称之为抛物线？抛物线上的点具有什么特征？这是我们今天要解决的问题。

剖析：这样的情境创设，简单自然、目的明确，以学生熟悉的生活情境：投篮运动为载体，以学生已有的数学经验：二次函数为依据，将初高中衔接，并让学生带着问题继续研究“抛物线”，充满数学学习的乐趣和求知欲。

二．开展实验，得到定义

师：为了解决这个问题，我们先来做一个实验。

（引入实验）

教师引导学生通过一次次对折，得到目标点，再将目标点连成一条光滑的曲线。在对折过程中，教师引导学生在点E和点F对折重合得到目标点后，下面的点不用一一对折了，可以根据对称性得到，为之后抛物线图象的对称性做直观准备。教师同时强调，线段EF的中垂线和直线e的交点就是线段EF的中点，为学生推导抛物线的标准方程建系时，确定坐标原点做铺设。

师：下面我们用几何画板来还原一下大家刚刚的折纸过程。（演示几何画板）

师：图中抛物线上任意一点M有何特征？

生1：到F和到直线l的距离相等。

师：M点在运动的过程中，点F和直线l在动吗？

生：不动！

师：对！是定点和定直线。所以，谁来试试，能否由此从轨迹的角度，得到抛物线的定义？

生2：到定点和定直线的距离相等的点的轨迹。

师：很好！但不完美！我们观察一下定点和定直线的位置关系。

生：点在直线外。

师：若点在直线上，M的轨迹会是什么？

生2：过点F和直线l垂直的直线。

师：所以，我们完善一下这个定义。

生2：到定点（不在定直线上）和定直线的距离相等的点的轨迹。

剖析：折纸实验会占用3分钟时间，但这个时间必须花。教师重视学生动手操作的过程，让参与到数学活动中。教师带着学生做，引导学生去发现。引导学生通过数学活动，像挤牙膏一样，将概念、定理、公式挤出来。这样，枯燥单调的定义变得活泼有趣，学生有得到结论的成就感，培养了学生数学抽象的浓厚兴趣，这比我们做十道、二十道题目的价值还要高。

三．方程推导，百花齐放

师：前面我们通过椭圆和双曲线的定义得到了它们的标准方程，类似的，我们能否由抛物线定义得到抛物线的标准方程呢？当然，我们首先需要？

生：建系！

师：对！建立的合适的直角坐标系能帮助我们得到简洁的方程表达形式。那么该如何建系呢？请大家四人一组，进行探讨研究。

生1：我们组是以EF所在直线为x轴，l所在直线为y轴建系的。（教师投影：图1）

师：依据是什么？

生1：利用现成的直线作为x轴、y轴，感觉会比较方便。

生2：我们组是以EF所在直线为x轴，过F点做垂直于x轴的直线为y轴建系的。（教师投影：图2）依据是：用现成的直线做x轴，现成的点做原点，合情合理。

生3：我们组是以EF所在直线为x轴，EF的中垂线为y轴建系的。（教师投影：图3）依据是：抛物线过原点，求出的抛物线方程就没有常数项了。

生4：我们组是以我们组是以EF所在直线为y轴，EF的中垂线为x轴建系的。（教师投影：图3）依据是：这样抛物线的图象就是函数图象，研究起来比较方便吧? 师：大家的想法都很好！下面请每组派一位代表到黑板上板演不同建系条件下得到的抛物线方程。为了统一，我们设焦点F到准线l的距离是p.

（图1） （图2） （图3） （图4）

（推导过程略）

四组学生分别得到四个不同的抛物线的方程：

y22pxp2（图1），y22pxp2（图2），y22px（图3），x22py（图4）

剖析：教师放手让学生根据抛物线的定义，选择自己认为合适的坐标系建系，探究抛物线的标准方程。虽然会占用一点时间，但是非常值得。学生思路开阔，得到的抛物线方程也不尽相同，在探究的过程中，思维的火花产生碰撞；在和其他同学的比较中，自己发现所得抛物线方程的“标准程度”。这比教师直接建系，得到抛物线方程会更自然，更有说服力。四种建系方法，每一种都有其依据和合理性，特别是第四种建系的方法，通过旋转的方法，侧面得到了开口向上的抛物线的标准方程，和后面的教学内容前后呼应。

四．以点带线，对称得之

师：大家觉得哪个最“标准”？

生：第三个和第四个！

师：大家眼光都很好嘛！第三和第四个抛物线的方程，由于过原点，方程的形式比较简洁，我们把它称为抛物线的标准方程。新的问题是：怎么有两个抛物线的标准方程呢？

生：因为开口不一样！一个开口向右，一个旋转之后开口向上了！

师：对！高中阶段，我们研究抛物线的四种开口，分别为向左、向右、向上、向下。那么是否每一种开口方向的抛物线都要通过建系去推导呢？我们能否通过现有的抛物线的标准方程去推导其它开口的抛物线的标准方程呢？刚刚有位同学说得很好，“旋转”！旋转给我们带来了直观的感觉，但我们现在没有旋转公式，无法将“旋转”代数化。我们高中阶段可以用坐标代换来解决这个问题。

教师几何画板演示四种不同开口方向的抛物线的坐标之间的关系，引导学生得到结论：

1.y22pxy22px 2. y22pxx22py 3. x22pyx22py

(x,y)(y,x) (x,y)(x,y) (x,y)(x,y)

然后教师引导学生得到四个不同开口的抛物线的标准方程的焦点坐标、准线方程等，顺利完成下列表格：

剖析：利用坐标代换，缩减了推导其它三个开口的抛物线的标准方程的时间。更重要的是，让学生从变换的角度去理解四种不同开口的抛物线，四个抛物线方程不再是孤立的存在，而是有机的整体。用轨迹的思想研究曲线，以点带线，也是学生数抽象能力的提升。

五．例题讲解，现学活用

例1（1）求抛物线y24x的焦点坐标和准线方程；

（2）求抛物线y4x的焦点坐标和准线方程；

答案：（1）F(1,0),x1；（2）F(1,0),x1；

师：那么抛物线yax的焦点坐标和准线方程是什么？

生：F(,0),x22a4a. 4

师：总结的非常好！由于2ppa，所以a！

24例1（3）求抛物线y4x2的焦点坐标和准线方程；

（4）求抛物线y4x2的焦点坐标和准线方程. 生：（3）F(0,1),y1；（4）F(0,1),y1. 师：大家觉得对吗？

生2：应该先把抛物线化成标准方程，再求解。

对（3），x2111y，故：F(0,,y；

41616111y，故：F(0,,y；

41616对（4），x2师：那么抛物线yax2的焦点坐标和准线方程是什么？提示：先得到抛物线的标准方程：x21y，能否由刚刚得到的y2ax的焦点坐标和准线方程结论类比得到？

a11),y. 4a4ap11，所以！

2a4a生3：F(0,师：很好！由于2p六．例题探究，追本溯源

师：现在我们进一步研究yax，大家看，它就是我们初中研究的二次函数！所以说二次函数的图象就是一条抛物线是有其理论依据的！现在我们不仅在“形”上，而且在“数”上，都解释了二次函数和抛物线的共性。那么yax2是过原点的二次函数，对二次函数2yax2bxc，我们能否从“代数”的角度解释它的图象是抛物线？

b24acb2)生：由二次函数的顶点式：ya(x，故yax2bxc是由yax22a4ab4acb2向左平移个单位，向上平移个单位得到的。由于平移不改变形状，故2a4a2yaxbxc的图象是抛物线！

师：很好！利用平移，我们得到了任何一个二次函数的图象都是抛物线！为什么二次函数是抛物线？这个问题终于有了答案！

师：这节课，我们学习了抛物线及其标准方程，得到了四个开口方向的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程和相应图形。而且，我们从“形”和“数”两个方面，解释了二次函数的图象是抛物线这个问题。下节课，我们将研究抛物线的几何性质。

剖析：通过具体的例题，来总结得到一般的结论，这是从特殊到一般的数学思想方法的运用。在例1（3）、（4）中，学生犯错的原因是没有将抛物线方程化成其标准形式。教师以此为切入点，引导学生对方程进行变形，并通过例1（1）、（2）所得一般结论，类比得到yax2的有关结论。并以此为新的起点，研究yax2bxc的图象为何是抛物线。这样层层递推，阶梯式的教学方法正是由浅入深、由易到难、由特殊到一般的数学教学方法。

教学后记：本节课带着“为什么二次函数是抛物线”这个问题去建构数学的理论，最后回归到学生提出的“二次函数是抛物线”这个数学问题中去，教授知识的同时解决了问题。有教育学者提出要带着问题去教学，教学的过程就是解决问题的过程。问题来自哪里？可以是生活中的，其它学科的，也可能是在数学发展的过程中产生的。本节课由初中的一个常用结论“二次函数是抛物线”这个问题展开，在高中阶段，从更多的角度、更开阔的视角去解释这个问题，这是数学发展所需要的。抛物线上的点具有怎样的特性？解决问题最好的办法是动手实践，所以教师引导学生进行数学实验，引导学生去探究，带着学生去发现，引导学生给出定义。得到抛物线定义而对过程，是一个用数学的语言来表述几何的特性的过程，这种数学抽象能力也是我们核心素养所提倡的。在探索的过程中，必然会产生新的问题，就需要教师及时引导。学生发现了抛物线的定义，新的问题是能否根据抛物线的定义得到其标准方程？“标准”二字又该如何解释？教师引导学生建系，探求抛物线的标准方程，建系的过程看似浪费时间，却是给学生自己理解“标准”二字意义的重要环节。学生有了比较，才能体会到简洁之美、标准之美。教师然后引导学生“知一得四”、“以点带线”，得到四个开口的抛物线的标准方程。对称变换的作用在于节省时间，也将四个开口的抛物线联系在一起，形成一个有机的整体。在例题讲解环节，把具体的数字抽象化，学生思维再一次提升。教师发现学生错误及时纠正，提醒学生回到抛物线的“标准”方程的角度去求解，引导学生得到更一般的结论，最后通过平移等方法解决了“为什么二次函数的图象是抛物线”这个问题。学生在探究的过程中解决一个个问题，享受数学探究的过程、体会数学文化之美。