2.3.1 双曲线的标准方程名师教学视频（文字实录）

2.3.1

双曲线的标准方程

江苏省江阴长泾中学

戴延庆

2015-10-28

学习目标：

1．了解双曲线的标准方程的推导过程，能根据已知条件求双曲线的标准方程．

2．掌握双曲线两种标准方程的形式．

学习重点：

根据已知条件求双曲线的标准方程；掌握双曲线标准方程中a、b、c间的关系．

学习难点：

双曲线方程的化简过程；用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．

教学过程：

预学单——复习提问

1．椭圆的定义是什么？

平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．[来

符号表示：

教师要强调条件：

（1）平面内；（2）到两定点F1，F2的距离的和等于常数；（3）常数2a|F1F2|．

2．椭圆的标准方程是什么？

22xy焦点在x轴上的椭圆标准方程为221ab0；

ab22xy焦点在y轴上的椭圆标准方程为221ab0

ba．3．双曲线的定义是什么？

平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．

符号表示：

几个值得注意的问题：

1．若常数要等于|F1F2|，则图形是什么？[来源

2．若常数要大于|F1F2|，能画出图形吗？

3．定点F1，F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？（强调“在平面内”）

4．|MF1|与|MF2|哪个大？

（当M在双曲线右支上时，

|M当点M在双曲线左支上时，

F1||MF2|；|MF1||MF2|）点M与定点F1，F2距离的差是否就是|MF1||MF2|？研学单——数学建构

主题一、双曲线的标准方程的推导过程

提问

已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？

类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．

无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．

类比椭圆——引入参量b的意义：

第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．

22yx类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程221,b0a0．[ ba主题二——双曲线的标准方程知识梳理

根据双曲线焦点的位置填写表格：

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

焦点坐标

a，b，c之

间的关系

F1

，F2

．

F1

，F2

．

关于双曲线的方程，值得注意的几个问题：

1、若x2的系数是正时，那么焦点在x轴上，若

y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置；

2、双曲线方程中a>0,b>0, 但a不一定大于b；

3、双曲线标准方程中，a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中a2=b2+c2。

4、两种方程的统一形式为：Ax2+By2=1（AB﹤0）

主题三——数学应用

例1

已知双曲线两个焦点分别为F15,0，F25,0，双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程．

分析

由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．

思考

已知两点F15,0，F25,0，求与它们的距离的差的绝对值是6的

点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？

例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）a3,b4，焦点在x轴上；

（2）a25，经过点A（2，－5），焦点在y轴上．

分析：根据双曲线焦点的位置，确定双曲线的标准方程的形式，再根据题设条件求出a，b的值，就可以直接写出双曲线的方程

解：（1）

例3

已知A，B两地相距800m，一个炮弹在某处爆炸，在A处听到炮弹爆炸声的时间比在B处迟2s，设声速为340m/s．

（1）爆炸点在什么曲线上？（2）求这条曲线的方程．

分析

首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A，B两地听到爆炸

声的时间差，即可知A，B两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．

思考

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正

北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s．已知各观察点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340m/s；相关点均在同一平面内）．

巩固及提高: y2x2x2y2

想一想：如何判断方程221(a0,b0)和221(a0,b0)所表示的双abab曲线焦点的位置？

主题四——课堂练习

教材P41-42练习第1，2，3，4，5题

主题五——归纳小结

1．双曲线的标准方程：

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

焦点坐标

F1

，F2

．

F1

，F2

．

a、b、c之

间的关系

2．椭圆与双曲线的区别与联系是什么？

曲线

适合条件的点的集合

a，b，c之间的关系

椭圆

双曲线

PPF1PF22a

a2b2c2

P|PF1PF2|2a

c2a2b2

x2y221或

2ab标准方程

y2x2x2y221或2212ababy2x21(ab0)

（a0,b0，a不一定大于b）

a2b2图形特征

续学单——课堂练习

P42习题2．3（1）1，

3，4，5题．

封闭的连续曲线

分两支，不封闭，不连续