习题2.4优质课一等奖

§9.7抛物线

一、学习目标

1.掌握抛物线的定义、标准方程、图象与性质

2.会根据已知条件求抛物线的标准方程、焦点坐标与准线方程

3.能用数形结合的思想解决与抛物线有关的问题。

二、知识回顾

（学生通过导学案独立完成以下问题，并通过移动终端对不懂的问题观看录屏，教师进行巡视并进行个别指导）

1．平面内一动点P到直线2x+3y5=0和到点M(1,1)的距离相等，则P点的轨迹为（

）

A

椭圆

B

双曲线

C

抛物线

D

直线

解：∵点M(1,1)在直线2x+3y5=0上，所以P点的轨迹为过M点且垂直线2x+3y5=0的一条直线。

2．抛物线y=4ax2（a<0）的焦点坐标为

（

）

1111,0)

B

(0,)

C

(0,)

D

(,0) 16a4a16a16ay1解：把方程y=4ax2化为x2＝

，焦点在y轴上，且2p＝，故选B 4a4a

A

(3．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于

A.22

B.23 2

(

)

C.4

D.25 解：由题意设抛物线方程为y＝2px(p>0)，则M到焦点的距离为xM＋＝2＋＝3，

22∴p＝2，∴y＝4x.∴y0＝4×2＝8，∴|OM|＝4＋y0＝4＋8＝23. 4．顶点在原点，以y轴为对称轴，焦点到准线的距离是2的抛物线方程是（

）

2222A. x＝4y

B. y＝±4x

C. x＝±4y

D. y＝4x 解：∵顶点在原点，以y轴为对称轴，可设抛物线方程为x2＝±2py（P>0），由条件P=2,∴所求抛物线方程为x2＝±4y

25．已知抛物线y＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|PA|＋|PF|的最小值和此时P点的坐标分别为（

）

7A.

，(2,2)

27

B.

，(3,2) 2

C. 29 29

(2,2)

D.

(3,2) 22222pp思维启迪

由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为求|PA|＋d的问题. 解

将x＝3代入抛物线方程

y2＝2x，得y＝±6. ∵6>2，∴A在抛物线内部，如图. 1设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|2

77＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐22标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2). 思维升华

与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. （学生独立自主学习后，学习小组进行讨论）

归纳小结：（学习小组讨论后，师生进行归纳小结。）

1.抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y2＝2px (p>0)

y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点

对称轴

焦点

离心率

准线方程

范围

开口方向

px＝－

2x≥0，y∈R

向右

px＝

2x≤0，y∈R

向左

pF2，0

y＝0 p－，0

F2e＝1 py＝－

2y≥0，x∈R

向上

py＝

2y≤0，x∈R

向下

p0，

F2

O(0,0) x＝0 p0，－

F2

三、典例探究

（学习先独立完成以下例题的学习，不明白时，可通过移动终端观看录屏，教师巡视并进行个别指导）

例1：抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程. 思维启迪

首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数. 解

由题意，得抛物线方程为x2＝2ay (a≠0). 设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，

则|MA|＝|AN|，而|AN|＝5. ∵|ON|＝3，∴|OA|＝32－52＝2，∴N(5，±2). 5∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，

255故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y. 225550，，准线方程为y＝－. 抛物线x2＝y的焦点坐标为8285550，－，准线方程为y＝. 抛物线x2＝－y的焦点坐标为828

例2：已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标. (2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值. (3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 思维启迪

抛物线上的点到抛物线的焦点距离，往往转化为该点到准线的距离. 11解

(1)∵抛物线C：x2＝y，∴它的焦点F(0，). m4m(2)∵|RF|＝yR＋111，∴2＋＝3，得m＝. 4m4m42y＝mx，(3)存在，联立方程

2x－y＋2＝0，

消去y得mx2－2x－2＝0，

1依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－. 2设2A(x1，mx21)，B(x2，mx2)，则2x·x＝－，m122x1＋x2＝，m

(*) 2x1＋x2mx21＋mx2∵P是线段AB的中点，∴P(，)，

22111即P(，yP)，∴Q(，). mmm1111→→22得QA＝(x1－，mx1－)，QB＝(x2－，mx2－)，

mmmm若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，

→→则QA·QB＝0，

11112即(x1－)·(x2－)＋(mx21－)(mx2－)＝0，

mmmm结合(*)化简得－46－＋4＝0，

m2m1即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，

2111而2∈(－，＋∞)，－∉(－，＋∞). 222∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形. （学生独立自主学习完成后，学习小组进行讨论研究）

归纳小结：（学习小组讨论完成后，师生进行归纳小结）

1.关于性质与方程问题

(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程. (2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2.关于直线与抛物线的位置关系问题

(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. 四、问题拓展（这个过程主要是教师完成）

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1. (1)求曲线C的方程；

→→(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA·FB＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解

(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：x－12＋y2－x＝1(x＞0). 化简得y2＝4x(x＞0). (2)设过点M(m,0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2). x＝ty＋m，设l的方程为x＝ty＋m，由2得y2－4ty－4m＝0，

y＝4x

y1＋y2＝4t，Δ＝16(t＋m)＞0，于是 y1y2＝－4m.2

①

→→→→又FA＝(x1－1，y1)，FB＝(x2－1，y2)，FA·FB＜0⇔

(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.

②

22y2y2y2y1y2211y21y2又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－4＋4＋1＜0⇔＋y1y2－444164[y1＋y22－2y1y2]＋1＜0.

③

由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④

对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－22＜m＜3＋22. 由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都→→有FA·FB＜0，且m的取值范围是(3－22，3＋22).

五、课堂自测（学生独立完成这个过程，完成后，学生通过评价系统提交答题结果，师生共同评议）

1．抛物线3x+2y2=0的焦点坐标是

（

）

3311

A

(－

,0)

B (0, －

)

C (－

,0)

D (0, －

)

886633解：抛物线3x+2y2=0 化为y2= - x,此时2p=

，所以抛物线3x+2y2=0的焦点坐标是C 223(－

,0)，选A.

82.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

解：选C.与抛物线相切有2条，与对称轴平行有1条，共3条．

3.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 A.x＝1

B.x＝－1

C.x＝2

(

) D.x＝－2

p解析

∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，

2p∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，

2p即x＝y＋，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，

2即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y1＋y2则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，

2∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. →→→→4.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|→→＋|FB|＋|FC|等于

(

) A.9

B.6

C.4

D.3 答案

B 解析

设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0). →→→由FA＋FB＋FC＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，

即x1＋x2＋x3＝3，

3→→→|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋x2＋x3＋p＝6. 25.如图，已知抛物线y2＝2px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原

点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程.

解

设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，

1则直线OB的方程为y＝－x，

ky＝kx，2p由2得x＝0或x＝2. ky＝2px，

2p2p22，∴A点坐标为，同理得B点坐标为(2pk，－2pk)，

kk由|OA|＝1，|OB|＝8，

k＋14p24＝1，

①k可得

4p2k2k2＋1＝64，

②②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4. 164则p2＝22＝. kk＋152545又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x. 556.抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点. →→(1)若AF＝2FB，求直线AB的斜率；

(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值. 解

(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1. 2

将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得

y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. →→因为AF＝2FB，所以y1＝－2y2.

①

②

2联立①和②，消去y1，y2，得m＝±. 4所以直线AB的斜率是±22. (2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，

从而点O与点C到直线AB的距离相等，

所以四边形OACB的面积等于2S△AOB. 1因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2| 2＝y1＋y22－4y1y2＝41＋m2，

所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4. 六、拓展资源（对学习进度快的学生在课堂内进行，对学习进度慢的学生，根据自己的能力课后完成，不明白的可在完成后观看移动终端提供的录屏）

1.若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是__________. 答案

x2＝12y

解析

由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y. 2.已知直线l1：4x－3y＋11＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________. 答案

3 解析

因为x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，

所以可画图观察.如图，连接PF

d2＝PF，∴d1＋d2＝d1＋PF≥FQ

＝|4×1－3×0＋11|15＝＝3. 542＋－323. 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为

A.(

) 17 2

B.3

9

C.5

D.

2

1解：抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等2于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最

小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于

1172＋－22＝，选A. 224.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________. 答案

y2＝3x

解析

如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，

由抛物线的定义知AF＝AA1，BF＝BB1，

∵BC＝2BF，∴BC＝2BB1，

∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°. 则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，

113则KF＝A1F1＝AA1＝AF，即p＝，

222∴抛物线方程为y2＝3x.

5.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为

A.17 2

(

)

B.3

C.5 9

D.

21解：抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等2于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于

1172＋－22＝，选A. 22

6.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为(

) A.(2,22)

C.(2，±2) 答案

D 解析

如图所示，由题意，

可得|OF|＝1，由抛物线的定义，

得|AF|＝|AM|，

B.(2，－22) D.(2，±22)

∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，

∴S△AMF

S△AOF1×|AF|×|AM|×sin∠MAF2＝＝3，

1×|OF|×|AF|×sinπ－∠MAF22y0∴|AF|＝|AM|＝3，设A4，y0，

y20∴＋1＝3，解得y0＝±22. 4y20∴＝2，∴点A的坐标是(2，±22). 47.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积为

A.2

2B.2

(

) 32C.

2D.22 答案

C 解析

如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，

又|AF|＝3，

由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，

∴点A的横坐标为2. 将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，

由图知点A的纵坐标y＝22，

∴A(2,22)，∴直线AF的方程为y＝22(x－1). y＝22x－1，联立直线与抛物线的方程2

y＝4x，1x＝2，x＝2，解之得或

y＝22.y＝－2

1由图知B2，－2，

11∴S△AOB＝|OF|·|yA－yB|＝×1×|22＋2| 22＝32.故选C. 28. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)、B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

p2(1)y1y2＝－p，x1x2＝；

42(2)11＋为定值；

|AF||BF|(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. p证明

(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0). 2p由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，

2p得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*) 2则y1、y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2. 2222因为y21＝2px1，y2＝2px2，所以y1y2＝4px1x2，

2y2p4p21y2所以x1x2＝2＝2＝. 4p4p4(2)x1＋x2＋p1111＋＝＋＝. |AF||BF|pppp2x1＋x2＋x1x2＋x1＋x2＋2224p2因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，

4得11|AB|2＋＝22＝(定值). |AF||BF|pppp＋|AB|－p＋424(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A、B作准线的垂线，垂足为C、

11D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|) 221＝|AB|. 2所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

9.如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N. (1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；

(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径. 解

(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1. 由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，

所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝5，

所以|MN|＝2|CO|2－d2＝25－4＝2. y20(2)设C(，y0)，则圆C的方程为

4

y2y40202(x－)＋(y－y0)＝＋y2，

4160y20即x－x＋y2－2y0y＝0. 22y20由x＝－1，得y－2y0y＋1＋＝0，

22设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则

yyy＝2＋1.1220y202Δ＝4y0－41＋＝2y20－4>0，2

由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，

2y0所以＋1＝4，解得y0＝±6，此时Δ>0. 233所以圆心C的坐标为(，6)或(，－6)，

22333333从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为. 42210.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M，N两

点，已知当直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为2(O为坐标原点). (1)求抛物线C的方程；

(2)是否存在直线l，使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y

轴上，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

思维启迪

(1)求MN的长，由面积得p的值；

(2)问题的几何条件是：线段MN的中垂线与y轴的交点和M，N构成等腰直角三角形，因此依次待定直线，表示中点，得中垂线与y轴交点，利用直角边垂直关系列式求解. 规范解答

解

(1)当直线l与x轴垂直时，则|MN|＝2p，

1pp2∴S△OMN＝·2p·＝＝2，即p＝2. 222∴抛物线C的方程为y2＝4x.[3分]

(2)∵直线l与x轴垂直时，不满足.设正方形的第三个顶点为P. 故可设直线l：y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，

y＝kx－1，联立2可化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

y＝4x，

42k＋42x1＋x2＝2，y1＋y2＝k，k＋22k则代入直线l可得MN的中点为(2，)，

kky1y2＝－4，x1x2＝1.2

212则线段MN的垂直平分线为y－＝－(x－1－2)，

kkk32故P(0，＋3).[8分]

kk→→又PM·PN＝0，则x1x2＋(y1－y0)(y2－y0)＝0. 即x1x2＋y1y2－y0(y1＋y2)＋y20＝0. 421－4－y0·＋y20＝0，化解得ky0－4y0－3k＝0，

k32由y0＝＋3代入上式，化简得(3k4－4)(k2＋1)＝0. kk4444解得k＝±

.∴存在直线l：y＝±

(x－1).[12分]

33（学生课后可通过移动终端再看录屏进行学习，整个教学内容教师都在课前准备了相关的录屏）