习题2.4教学设计模板

圆锥曲线中与面积有关的问题

【学习目标】

1.掌握通性通法处理面积以及最值问题

2.提升计算能力

【重难点】

重点：思路、解题步骤书写、运算

难点：思路、运算

【突破重难点方法】

1、学生在已有知识的基础上探讨交流；

2、对通性通法的概括；

3、计算方法的交流。

【课堂设计】

1、根据圆锥曲线中已有的基本图形，得出有关面积计算思路；

2、变式探讨面积计算；

3、题目讲解，

3、计算难点分析

4、方法概括

一、复习以下图形面积计算

664P42205F12O5F2101510F15O25F210154P6

4

86

8

二、交流探讨

x2y21（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆例1、已知直线l：y＝3x－23过椭圆C：2＋2＝ab6的离心率为．

3（1）求椭圆C的方程；

（2）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．

（3）与单位圆相切的直线交椭圆C于点P，Q，求△POQ的面积的最大值．

练习

已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(2，2)在椭圆上，且abA42x2y2AF2与x轴垂直．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．

解：(1)由已知得，c＝2，于是x2y2故椭圆的方程为＋＝1. 84(2)当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝212，∴S△AOB＝×222×2＝2a2－b2＝4，且425F12OF251015B468a2＋2＝1，解得a2＝8，b2＝4，

b2. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y－与x2＋2y2＝8联立，得(2k2＋1)x2＋4(22＝k(x－2)(k≠)，

22－2k)2－8＝0，由Δ>0，得k≠2－2k)kx＋2(

2－. 2又易得|AB|＝1＋k2·22·|2k＋2k2＋122||，原点O到直线AB的距离d＝2－2k|1＋k2，

1∴S△AOB＝·|AB|·d＝222·|1－2|. 2k＋1222∵k≠±，∴2k＋1∈[1，2)∪(2，＋∞)，∴1－2∈[－1，0)∪(0，1)，

22k＋1∴S△AOB∈(0，22]．

2. 综上所述，△AOB面积的最大值为2[小结] 求圆锥曲线面积的最值问题常转化为求函数的最值问题或利用基本不等式求最值问题，有时也利用圆锥曲线的几何性质求最值．

例2、已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB8→→的中点，PF＝3FM. →(1)若|PF|＝3，求点M的坐标；

(2)求△ABP面积的最大值. 解析：

(1)由题意知焦点F(0，1)，准线方程为y＝－1. 564PB2FM

2OA510设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，

所以P(2→2，2)或P(－2→2，2). 222222由PF＝3FM，分别得M－，或M，. 3333(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0). y＝kx＋m，由得x2－4kx－4m＝0. x2＝4y，

于是Δ＝16k2＋16m＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，

所以AB中点M的坐标为(2k，2k2＋m). →→由PF＝3FM，得(－x0，1－y0)＝3(2k，2k2＋m－1)，

1414x0＝－6k，2＝－m＋2≥0，得－＜m≤. 所以由x2＝4y得k.由Δ＞0，k002－3m.51533y＝4－6k0又因为|AB|＝41＋k2k2＋m，点F(0，1)到直线AB的距离为d＝16|m－1|1＋k2. 所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1|k2＋m＝

153m3－5m2＋m＋1. 记f(m)＝3m3－5m2＋m＋114－＜m≤.令g′(m)＝9m2－10m＋1＝0，

331111′解得m1＝，m2＝1.可得g(m)在－，上是增函数，在，1上是减函数，

9399412564在1，上是增函数.又g＝＞g. 392433125655所以，当m＝时，g(m)取到最大值，此时k＝±. 9243152565所以，△ABP面积的最大值为. 135