3.1.2 导数的概念教学设计

教学目标

知识与技能

1.理解平均变化率的概念

2.了解瞬时速度,瞬时变化率的概念

3.理解导数的概念

4.会求函数在某点的导数

过程与方法

理解平均变化率的概念,了解平均变化率的几何意义,会计算函数在某个区间上的平均变化率,会求函数在某点的导数. 情感态度与价值观

感受数学模型刻画客观世界的作用,进一步领会变量数学的作用,提高分析问题解决问题的能力. 教学重点\难点

重点

瞬时变化率的概念

难点

瞬时变化率概念的形成过程

教学用具

多媒体,板书

教学过程

创设情境,引入课题

十七世纪,在欧洲资本主义发展初期,由于工厂的手工业向

机器生产过渡,提高了生产力,促进了科学技术的快速发展,其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果—微积分的产生. 新知探究

例1、自由落体运动的运动方程为s= 1/2gt2，计算t从3s到3.1s，3.01s ，3.001s 各段时间内的平均速度（位移的单位为m）。

一般结论:

设物体的运动方程是

s=s(t), 物体在时刻

t

的瞬速度的极限

，时速度为

v

, 就是物体在

t

到

t+△t

这段时间内,当△t→0 时平均即

ssttstvlimlimt0tt0t

例２、

yyf(x)相交

相切

x

上面我们研究了切线的斜率问题,可以将以上的过程概括如下：设曲线C是函数

y=f(x) 的图象，在曲线C上取一点

P及P点邻近的任一点Q(x0+△x,y0+△y) , 过P,Q两点作割线，则直线PQ的斜率为

kPQyQyPxQxPPQ无(y0y)y0y(x0x)x0x限靠近PT, 因此

直线PQ转动当时，Q逐渐向P靠近，也即△x 变小,当△x→0时，：kPTlimkPQx0f(x0x)f(x0)ylimlimx0xx0x

f(x0x)f(x0)ylimlimx0xx0x

kPTlimkPQx0

ssttstvlimlimt0tt0t

数上式称为函y=f(x)在x=x0处的导数

y

x

x

记作：

f

0或

x

0

即

fx0xfx0yfx0limlimx0xx0x

注意：

1、函数应在点的附近有定义，

否则导数不存在。

2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0, 可正、可负，但不为0，而△y可能为0。

3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0及其附近的函数值有关，与△x无关。

4、若极限

函数在点x0处不可导. f(x0x)f(x0)

lim

不存在，则称

x0x5、物体的运动方程

s=s(t)在t0处的导数,即在t0处的瞬时速度,函数y=f(x)在x0处的导数,即曲线在x0处的切线斜率．导数可以描述任何事物的瞬时变化率．瞬时变化率除了瞬时速度，切线的斜率,还有：点密度，国内生产总值(GDP)的增长率，经济学上讲的一切边际量

等．

例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2-7x+15 (0x

8).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们的意

义。

练习1、以初速度为v0(v0>0)作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为h(t)=v0t--gt2,求物体在时刻t0时的瞬时速度。

注:

由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导yfx0xfx0

数的方法是：

(1)求函数的增量fx0xfx0yx(2)求平均变化率x

fx0(3)取极限,得导数

ylimx0x

练习2、质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位：m , 时间单位：s).若质点在t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。

小

结: 1.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义。

2.由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是：(1)求函数的增量

(2)求平均变化率

(3)取极限,得导数