3.1.2 导数的概念PPT专用课堂实录内容

课题

导数的概念

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

教学

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的课型

新授课

目标

思想及其内涵；[来源:学,科,网Z,X,X,K]

3．会求函数在某点的导数。

重点[来源:Zxx教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

k.Com]

教学难点：导数的概念．

难点

教具

多媒体

准备

安排

教学方法、教学教学过程与教学内容

手段与学法、学情

教学过程：

一．创设情景

设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。

以t0为起始时刻，物体在(t时间内的平均速度为

f(tt)f(t)s00f(tt)f(t)s00

v。v。tttt

[来源学科网]课时

1

v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值，t越小近似的程度就越好。

s

limt0t所以当t0时，极限

就是物体在t时刻的瞬时速度，即

0

sf(tt)f(t)s00

v|limtt。

lim

v|lim0tt0t0tt0tt

二．平均变化率

fx2fx1称为函数fx从x1到x2的平均变化率x2x1

xx2x1yfx2fx1fx2x1x

x2fx1yx2x1x函数yf(x)，如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量yf(x0x)f(x0);比值y

就叫做函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率，xf(x0x)f(x0)y即.xx

三．瞬时变化率

y如果当x0时，有极限,我们就说函数yf(x)在点x0处可导,x并把这个极限叫做函数yf(x)在点x0处的导数（或变化率）,

记为y'y'xx0或f'x0f(x0x)f(x0)ylimx0xx0x

xx0f'(x0)lim由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:

(1)求函数的增量:yf(x0x)f(x0);(2)求平均变化率:f(x0x)f(x0)y;xxx0(3)求极限,得导数:f(x0)limy.x

注意:这里的增量△x不是一般意义上的增量,它可正也可负.

四、函数在一区间上的导函数：

1、如果函数f(x)在开区间

(a,b)

内每一点都可导，就说f(x)在开区间

(a,b)内可导．

2、这时，对于开区间

(a,b)内每一个确定的值

x0，都对应着一个确定的导数值

，

这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，把这一新函数叫做

f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数.

记作f'(x)或y'(需指明自变量时记作y'x)

lim即

f'(x)y'x0yf(xx)f(x)

limxx0x

fx0和fx之间的关系：

当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数fx0

等于

函数f(x)在开区间(a,b)内的导数

fx 在点x0处的函数值

f(x0)f(x)xx0

如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点X0处连续.

1例1：

求函数f(x)＝x在x＝1,2附近的平均变化率，取Δx都为3，在2哪一点附近平均变化率最大？并求出在x=1，2的瞬时变化率

f1＋Δx－f11＋Δx2－1解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx；

ΔxΔxf2＋Δx－f22＋Δx2－22在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx；

ΔxΔx

1若Δx＝3，

17113则k1＝2＋3＝3，k2＝4＋3＝3，由于k1＜k2，

故在x＝2附近的平均变化率最大．

在x1的瞬时变化率是f1limylim（2x)2xxx在x2的瞬时变化率是f2limylim（4x)4xxx

例2、设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值: (1)limx0f(x0x)f(x0)f(x0h)f(x0h);(2)lim.h0xh解：limf(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)limx0x0xxf(x0)

limf(x0h)f(x0h)f(x0h)f(x0h)limh0h01hx0h(x0h)2

f(x0h)f(x0h)2limh0x0h(x0h)2fx0

注意：在导数定义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论

Δx选择

哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式. 练习：设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值

(1)limf(x0mx)f(x0);(2)limx0xf(x0x)f(x0)tx

x0

例3:用定义求函数

fxx

在x=1处的导数

y1x1解：xx1x11x1

直接求出函数在该点的导数

1x1xx11x1x1x1yx1limx011

1x12xxxxxx

yxxxxxx解法2：

xxxx1xxx求出导函数，

xxxx111ylimx0xxxxx2x再求在该点的函数值

11yx1212练习．求函数y=x2在点x=2处的导数。

22f(2x)f(2)(2x)2

f

(2)

lim

limx0x0xx

(4x)4。

limx0

小结: 1)导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态.

2)

要切实掌握求导数的三个步骤：

①求函数的增量；②求平均变化率；③取极限，得导数.

3)弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”

之间的区别与联系: ①函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数; ②函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数fx

③如果函数y＝f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说函数y＝f(x)在开区间(a,b)内可导，这时，对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，这样就在开区间(a,b)内

可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数;

④函数f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数fx在x=x0处的函数值，即

f(x0)f(x)|xx0.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一.