4.5 反函数的概念优质课教案

4.5 反函数的概念

上海市七宝中学

童永健

一、

教材内容分析

本节课是沪教版高一上学期第四章第五节《反函数》的第一节课，是反函数的概念课。承接第四章函数的性质，也为下一节对数函数作为指数函数反函数的引出作铺垫。反函数的概念对于学生来说是一个完全陌生的概念，其本身具有很高的抽象性，不易理解，学生在学习函数的概念和性质后需将知识点迁移到反函数上，从而加深加快反函数概念的理解。教学设计用具体的例子引出，从特殊直观到一般抽象；从数和形两个角度阐述概念的特点，循序渐进。

在明确反函数的定义后，本节课还需学生掌握求简单函数反函数的方法。事实上，教材中反函数的定义即提示了求反函数的过程，对定义的明确阐释有助于学生对求反函数方法的快速理解，如为什么要求原函数的定义域和值域，反解x的过程中需要注意的地方，求完反函数一定要写反函数的定义域等等。

二、

学情分析

反函数的概念抽象，不易理解，对高一学生来说掌握存在较大困难，但也是训练抽象思维的良好载体。通过前一章函数的性质的学习，学生对数学语言描述的定义及自然语言与符号语言间的转化并不陌生，经过了一定的抽象思维和逻辑思维的训练，本节课的难点在于如何将抽象的概念用具体的例子引出，用较通俗易懂的语言表达。作为反函数概念学习的第一课，学生的接受程度应该不高，对反函数的求解，即运算方面及技巧方面的要求不宜过高。

三、教学目标

1、掌握反函数的定义，理解定义的本质和关键词的含义，能够根据定义判断一个函数是否存在反函数，能求简单函数的反函数

2、通过定义引出和分析过程中的自主探究，加深概念的理解，经历“从特殊到一般”的问题研究方法，体会“数形结合”，“函数与方程”，“类比”等数学思想方法的运用。

四、教学重难点

教学重点：反函数概念的理解，求反函数

教学难点：反函数概念的理解

五、教法学法分析

教法分析：

本节课以加密解密的例子引入，字母对应的数字直观易懂，同时求解密函数的过程即初步经历求解反函数的过程，这样让学生有直观的体验，之后也能顺利引出反函数的概念。

在反函数概念的讲解过程中，教学设计围绕定义即求解反函数过程这个本质，循序渐进，提出四个问题，帮助深层剖析概念。同时，辅以师生提问式的互动，同时，在概念讲解中，加入不少直观具体的例子，帮助学生更好地理解每个环节。

教师始终强调求反函数即将函数看成方程，反解x，融入方程的思想，使得求反函数整个的过程变得易于理解。把握细节的讲解，使得概念的认识不断完善。

学法分析：

学生从引入环节起进行简单的思考，到概念讲解中对抽象内容的理解，逐层深入，从特殊到一般。要理解好反函数的概念，应把握好特殊的例子，如在求反函数前，体验解方程x2ax0，意在帮助理解求解原函数定义域的作用。

学生对反函数概念的正确理解，是后续反函数图像特征，反函数性质等研究，以及认识对数函数的保障，需在本节课中有较为系统完善的掌握。

六、教学过程

（一）情境引入与概念的引出

1

解密游戏

现在有一个信息：“action tonight”运用了某种加密的规则，得到了密码“Dfwlrq Wrqljkw”

问：根据上述加密方式试着解密“Zh Jhw Lw”这段回复，阐述思考过程（答：“we get it”）

如果加密过程是一种对应关系，解密过程其实体现了加密过程的一种逆对应的关系

如果将26个字母的位置进行编号，那么字母的对应关系就转化成了数与数的对应关系，其中A,B,C延续用27,28,29代替

明文→

密文→

用解析式来表示明文到密文的对应关系，把它称为加密函数

问：指出这组对应关系中的加密函数，它的定义域和值域

（答：yx3,x1,2,,26,y4,5,,29）

为了方便起见，我们把这里x的范围记为D，y的范围记为A 【设计意图：定义加密解密函数，意在让学生从直观的例子体会反解x的过程，即求反函数的过程，以及x与y的对应关系和角色互换】

问：已知密文y，求明文x，尝试用y表示x，指出x,y的取值范围，阐述求解过程

求解密函数，是知道密文y，求明文x，把y当成数，解未知数x，其本质是反解x的过程。

xy3yA反应了A这个集合所表示的范围内的y与D这个集合所表示的范围内的x的对应关系，

问：x与y的这种对应关系是否是函数关系？x是y的函数吗？

回顾函数的定义（对A这个范围中的每个y，x有唯一确定的值与它对应，是函数关系）

总结：xy3yA这个对应关系是由yx3xD反解x得到，它是一个函数关系，因此把它叫做yx3xD的反函数

【设计意图：初步经历求反函数的过程，教师及时总结，帮助引出概念】

（二）反函数的定义

回顾加密解密过程：

第一步：加密函数：yfx

xD

yA

第二步：反解x得到解密函数：xy

yA

xD

第三步：判断xy是函数吗？如何判断？一个y被唯一一个x对应

经过这三个过程，且能判断xyyA是函数，则可以称其为yfxxD的反函数

问：概括出反函数的定义

反函数定义：对于函数yfx，设它的定义域为D，值域为A，由yfx函数，即xy，叫做yfx的反函数，记作xf1解得xy，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，这样得到的x关于y的y，称yfx为原函数

总结：定义中第一句话交代了yfx的定义域D和值域A，第二句说明了xy的由2

来是反解x，第三句判断xy是否是函数

习惯上我们将x作为自变量，y作为应变量，所以改写为yf1xxA

【学情预设：尽管做了较多铺垫，但学生对于函数概念的陌生及反函数概念的抽象仍会对定义的概括造成困难，此时教师可将定义中的关键词略去，以填空的形式帮助学生自行概括，并且引起学生对关键词的注意】

y与yf1x是同一个函数吗？

将引例中yx3xD的反函数改写为yx3xA

问：分析为什么可以这样改写，xy3yA和yx3xA是否是同一个函数？

11总结：xfy中y是自变量，x是因变量，yfx中，x是自变量，y是因变量

xf1y与yf1x是同一个函数。

问题1：xf1【设计意图：通过具体的例子，解释清楚原函数与反函数x与y角色上的不同，帮助学生认清函数的自变量和因变量，解释在求反函数的过程中为什么可将x与y互换的道理】

问题2：原函数与反函数之间存在什么关系？

反函数不是指一类函数，原函数与反函数成对出现，有原函数，才有反函数。

问：反函数f1的反函数是什么？

原函数与反函数的关系：（1）原函数与其反函数互为反函数

问：讨论yx3xD与yx3xA的定义域和值域，概括原函数与反函数的定义域和值域存在怎样的关系？

（2）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域

讨论：（1）f1fxx,x原函数定义域Dff1xx,x原函数值域A1（2）fbafab

1例如：f23，求f3？（f3本例体现学生对原函数与反函数间关系的理解）

=2，【设计意图：此处通过具体实例的观察分析，以及教师在黑板上画对应关系的图，进一步帮助学生理解x与yfx不同的角色，解释原函数的定义域是反函数的值域，反函数的定义域是原函数值域，这一关系的本质，同时得出（1）（2）中的等式】

问题3：如何判断一个函数是否具有反函数？

问：是否所有的函数都存在反函数？

yx2,xR，没有反函数，因为一个y被多个x对应

例1：观察下列函数图像，判断是否存在反函数（本例通过函数图像直观判断一个函数是否存在反函数，并且引出若一个函数存在反函数，则这个函数在图像上特征的概括）

问：如果一个函数具有反函数，则它图像上有什么特征？

（同一个自变量x对应唯一一个应变量y，同一个应变量y只被唯一一个自变量x对应

x与y

一对一）

【设计意图：此处通过学生自己观察，发现并概括若一个函数存在反函数，它在图像上的特征，通过例题的提问和分析，加深学生印象】

3

问题4：如何求反函数

引例：解方程：xax0体会定义域的作用（x的范围决定了方程必须是负根）

2问：类比求yx3反函数的过程，试求yx2x0的反函数，根据定义概括要做哪些步骤？

求反函数的步骤：（1）确定原函数的定义域和值域

作用：①确定反函数的定义域

②在反解过程中，确定x正负的取值，如yx2x0，求反函数的过程中，这个x到底取正根还是负根，这里的定义域，就决定了x只能取负的。

（2）解方程，求x，即用y表示x，它的本质是解关于x的方程

（3）将x与y互换，改写为yf1x

，注明反函数的定义域

注：反函数定义域必须通过原函数值域求得

【学情预设：经过前面的讨论和铺垫，学生应该能自行概括求解反函数的过程，教师需对细节进行强调，如求原函数定义域的作用、求完反函数需注明定义域、格式书写的规范等等】

例2：求下列函数的反函数（本例练习求反函数，强调书写步骤的完整性和规范性）

13x1x1x4

（2）yx2x1

（3）y

2x2解：（1）原函数定义域为4，+，值域为,3

（1）yx2y2，将x与y互换，所以所求反函数为y2x2x3

（2）yxx1

（3）y2x1x3

x3

（三）小结：

1、反函数的定义；

2、原函数和反函数的关系；

3、判断一个函数存在反函数的方法；

4、求反函数

问题研究的方法：从特殊到一般，从具体到抽象

数学思想方法：数形结合、函数与方程、类比

思考：（1）单调函数一定存在反函数吗？存在反函数的函数一定是单调函数吗？

（2）原函数与反函数的图像存在什么样的关系

【设计意图：思考的问题涉及反函数图像与性质的讨论，引发学生思考，为下一节课要讲的内容作铺垫】

七、板书设计

4.5 反函数的概念

D

A

f

（一）加密：yfx

xD

yA

a

f-1

fa

-1

f

1xDyA（二）解密：反解x，

xyfb

f

b



（三）判断xy是函数吗？一个y被唯一一个x对应

f1faa,aD

ff1bb,bA

4

yx2x0

例2:xxxxxxxxxxxxxx（学生板演）

定义域D,0

值域A0,

xy

将x于y互换，所以反函数为yxx0

八、课后反思

反函数由于其本身的抽象难懂，讲解起来有一定的挑战性。为此，我在教学设计中加入了许多提问互动和直观的例子，帮助学生理解概念。将概念分为好几个环节，用求解反函数过程作为主线将其串联，阐释了反函数的一些性质，又不离开主线，形成比较完整的结构。

本节课始终抓住反函数概念的理解和求解反函数方法的教学这两个重点，寻找教学重点之间的联系，借助这些联系将讲解深入，在结构设计上较为完善。体现了一定的数学思想方法和问题研究的方法。

由于是概念课，本身较为枯燥难懂，限于时间，学生习题的训练较少，师生间的交流也多以提问的形式展开，较少能够融入学生自主探究的环节。

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