小结第二课时教学设计

【学习案】利用导数探究函数的单调性

信宜市白石中学

丁

弋

2018-4-27 课前预习学案

一、预习目标

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。

二、预习内容

1．利用导数的符号来判断函数单调性: 一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，

如果在这个区间内f'(x)0，则yf(x)为这个区间内的

；

如果在这个区间内f'(x)0，则yf(x)为这个区间内的

。

思考：（1）若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？

回答：

提示：

f(x)＝x3，在R上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？

（2）若f '(x) ＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数

？

若某个区间内恒有f '(x)＝0，则f (x)为

函数．

2．利用导数确定函数的单调性的步骤：

(1) 确定函数f(x)的定义域；

(2) 求出函数的导数，即y'f'(x)；

(3) 解不等式f

(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

解不等式f (x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间。

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标：1、了解可导函数的单调性与其导数的关系。

2、掌握利用导数判断函数单调性的方法. 学习重点：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性. 二、学习过程

把简单事情做好就是不简单。人生如波浪图象，时而在一定区间内单调递增，

时而在一定区间内单调递减，但无论如何，我们都不忘初心，永不放弃，永攀高峰。——丁弋

1

【温

故】（详看PPT）

【引

例】

1、确定函数yx24x3在某区间内是增函数？在某区间内是减函数？

解答：

问

1）为什么yx24x3在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数？

解答：

2）研究函数的单调区间你有哪些方法？

解答：

2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

解答：

【探

究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

研究二次函数yx24x3的图象；

（1）

画出二次函数yx24x3的图象，研究它的单调性。

（2）

提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？

回答：

（3）

我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？

观察图象，能得到什么结论？

回答：

【新课讲解】（详见书本第90页）

根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？

一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，

'如果在这个区间内f(x)0，则yf(x)为这个区间内的

；

'如果在这个区间内f(x)0，则yf(x)为这个区间内的

。

思考：（1）若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？

回答：

提示：

f(x)＝x3，在R上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？

（2）若f '(x) ＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数

？

若某个区间内恒有f '(x)＝0，则f (x)为

函数．

结论应用：

由以上结论知：函数的单调性与其

有关，因此我们可以用

去探讨函数的单调性。下面举例说明：

【例题讲解】

把简单事情做好就是不简单。人生如波浪图象，时而在一定区间内单调递增，

时而在一定区间内单调递减，但无论如何，我们都不忘初心，永不放弃，永攀高峰。——丁弋

2

例1、

求证：yx31在(,0)上是增函数。（书本第91页例2第1题改编）

归纳步骤：1、

；2、

；3、

。

例2、

确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

（回到引例）

思考：求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间？（课后作业，只是提示注意定义域）

小结：用导数求函数单调区间的步骤：

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

。

【对点训练】

1．确定下列函数的单调区间

(1)y=x3－9x2+24x

(2)y=3x－x3

2、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的

图象如图所示,

则yf(x)的图象最有可能是(

)

把简单事情做好就是不简单。人生如波浪图象，时而在一定区间内单调递增，

时而在一定区间内单调递减，但无论如何，我们都不忘初心，永不放弃，永攀高峰。——丁弋

3

【作业与提高】

１．（浙江卷）设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（

）

y y y y

O x O x O x O x

A．

B．

C．

D．

２．已知函数f(x)xlnx，则（

）

A．在(0,)上递增

B．在(0,)上递减

C．在110,e上递增

D．在0,e上递减

３．函数f(x)x33x25的单调递增区间是_____________．

4．求证：函数f(x)=2x3-6x2+7在（0,2）内是减函数.

5．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间

6．分类讨论二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间

把简单事情做好就是不简单。人生如波浪图象，时而在一定区间内单调递增，

时而在一定区间内单调递减，但无论如何，我们都不忘初心，永不放弃，永攀高峰。——丁弋

4

【教学案】利用导数探究函数的单调性

信宜市白石中学

丁

弋

2018-4-27 一、教材分析

我们已经学会用定义法来判断函数的单调性。对于任意的两个数x1，x2∈D，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间D上的增函数．

对于任意的两个数x1，x2∈D，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间D上的减函数。在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易。

如果利用导数来探究函数的单调性就比较简单。

二、核心素养

1、知识素养：

1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；会求不超过三次的多项式函数的单调性。

2）掌握利用导数判断函数单调性的步骤。

2、能力素养：

学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。

3、情感、态度与价值观素养：

通过情景和问题激发学生的学习兴趣，从而在愉悦的自主、合作、探究学习氛围中，学生感受到：从简单到复杂，从特殊到一般；数形结合，分类讨论；更感悟到“人生如波浪图象，时而在一定区间内单调递增，时而在一定区间内单调递减，但无论如何，我们都不忘初心，永不放弃，永攀高峰。”

三、教学重点难点

教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

教学难点：探索函数单调性与导数的关系。

四、教学方法：自主、合作、探究法

五、课时安排：1课时

六、教学过程

【温

故】【展示学习目标】

【引

例】

1．确定函数yx4x3在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？

解：yx4x3(x2)1，在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数。

问：1）、为什么yx4x3在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数？

2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？

都是反映函数随自（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）

变量的变化情况。

（2）利用函数单调性的定义。（函数单调性的定义）

2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

（1）能画出函数的图象吗？

（2）能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。2222把简单事情做好就是不简单。人生如波浪图象，时而在一定区间内单调递增，

时而在一定区间内单调递减，但无论如何，我们都不忘初心，永不放弃，永攀高峰。——丁弋

5

（研究的必要性）事实上用定义研究函数yx24x3的单调区间也不容易。

【探

究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

1、研究二次函数yx24x3的图象；

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

学生自己画图研究探索。

提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？

（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？

学生继续探索，得出初步规律。演示，共同探究。

得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：

①该函数在区间(,2)上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；

在区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；

注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？

②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？

2、手机投影微课；

3、展台投影书本第90页

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何利用导数探究函数的单调性（指向黑板课题）。

【新课讲解】

4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？

（小组竞争）请一个学生回答。（展台投影）（教师板书）

一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，则函数在该区间内

'如果在这个区间内f(x)0，则yf(x)为这个区间内的增函数；

'如果在这个区间内f(x)0，则yf(x)为这个区间内的减函数。

'若在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数函数。

这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这里我们可以直接用这个结论。

小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单到复杂。

结论应用：

（小组竞争）由以上结论知：函数的单调性与其导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：

【例题讲解】

例1、

求证：yx1在(,0)上是增函数。

（小组竞争）由学生叙述过程老师板书：

证明：因为

y(x1)2x，x(,0)，

把简单事情做好就是不简单。人生如波浪图象，时而在一定区间内单调递增，

时而在一定区间内单调递减，但无论如何，我们都不忘初心，永不放弃，永攀高峰。——丁弋

6 '3'23

所以

x0，即y'0，

所以函数yx31在(,0)上是增函数。

注：我们知道yx31在定义域R上是增函数。

（小组竞争）学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、写结论。

例2、

确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. （小组竞争）由学生叙述过程老师板书：

解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x,

令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0 ∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数;当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.

思考：求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间？（课后作业，只是提示注意定义域）

（小组竞争）学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：（教师板书）

(1) 确定函数f(x)的定义域；

''yf(x)；

(2) 求出函数的导数，即2(3) 解不等式f (x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

解不等式f (x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间。

（4）写结论

【对点训练】（小组竞争）（学生板演）

1．确定下列函数的单调区间

(1)y=x3－9x2+24x

(2)y=3x－x3

(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4) 令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2. ∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 .∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4) (2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1) 令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1. ∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).

令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1. ∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)，(1，+∞)

（小组竞争）规律总结：

1．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写．

2．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接，如(1)、（2）题中的答案显示。

把简单事情做好就是不简单。人生如波浪图象，时而在一定区间内单调递增，

时而在一定区间内单调递减，但无论如何，我们都不忘初心，永不放弃，永攀高峰。——丁弋

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2、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的

图象如图所示,

则yf(x)的图象最有可能是(

)

（小组竞争）小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？

【课堂小结】（小组竞争）

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,

′如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,

则f(x)为减函数.

2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合、分类讨论等数学思想在解题中的应用. 3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂. 【作业与提高】

１．（浙江卷）设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（

）

２．已知函数f(x)xlnx，则（

）

A．在(0,)上递增

B．在(0,)上递减

11ee３．函数f(x)x33x25的单调递增区间是_____________．

4．求证：函数f(x)=2x3-6x2+7在（0,2）内是减函数. 5．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间

6．分类讨论二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间

C．在0,上递增

D．在0,上递减

【板书设计】利用导数探究函数的单调性

一、函数单调性与导数符号关系：

例1证明：

二、步骤：定求解写

【教后记与反思】

把简单事情做好就是不简单。人生如波浪图象，时而在一定区间内单调递增，

时而在一定区间内单调递减，但无论如何，我们都不忘初心，永不放弃，永攀高峰。——丁弋

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