1.3.1 且（and）优秀教案设计

正弦、余弦函数的图像与性质

教学目的：

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；

能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：

自变量x

函数值sinx

2

0

3





221

0

0



21



0

3

21

2

0

0

1

y

–

1



2

5



O

22

1–

正弦函数f(x)sinx性质如下：



2

x

5

（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）

3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当x增加2k（kZ）时，总有f(x2k)sin(x2k)sinxf(x)．

也即：（1）当自变量x增加2k时，正弦函数的值又重复出现；

（2）对于定义域内的任意x，sin(x2k)sinx恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课：

1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

问题：（1）对于函数ysinx，xR有sin(622)sin，能否说是它的周期？

363

xR是不是周期函数，kZ（2）正弦函数ysinx，如果是，周期是多少？（2k，且k0）

（3）若函数f(x)的周期为T，则kT，kZ也是f(x)的周期吗？为什么？

（是，其原因为：f(x)f(xT)f(x2T)*f(xkT)）

2、说明：1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）

3T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx, y=cosx的最小正周期为2 （一般称为周期） 从图象上可以看出ysinx，xR；ycosx，xR的最小正周期为2；

判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？

（f(x)c没有最小正周期）

3、例题讲解

例1 求下列三角函数的周期：

①y3cosx ②ysin2x（3）y2sin(x126)，xR．

解：（1）∵3cos(x2)3cosx，

xR的值才能重复出现，∴自变量x只要并且至少要增加到x2，函数y3cosx，

所以，函数y3cosx，xR的周期是2．

（2）∵sin(2x2)sin2(x)sin2x，

∴自变量x只要并且至少要增加到x，函数ysin2x，xR的值才能重复出现，

所以，函数ysin2x，xR的周期是．

112)2sin[(x)]2sin(x)，

62626∴自变量x只要并且至少要增加到x，函数ysin2x，xR的值才能重复出现，

所以，函数ysin2x，xR的周期是．

xR说明：（1）一般结论：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)，（其中A,,

2为常数，且A0，0）的周期T；

（3）∵2sin(x12（2）若0，例如：①y3cos(x)，xR；②ysin(2x)，xR；

③y2sin(1x)，xR．

26则这三个函数的周期又是什么？

一般结论：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)，xR的周期T例2先化简，再求函数的周期

①ysinxcosx

②ycos2x23cosxsinxsin2x

③证明函数f(x)|sinx||cosx|的一个周期为例3 求下列三角函数的周期：

1 y=sin(x+x) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+) 2532

||，并求函数的值域；

2

解：1

令z= x+

而 sin(2+z)=sinz 即：f

(2+z)=f

(z) 3]=f

(x+) ∴周期T=2

33f

[(x+2)+ 2令z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)] 即：f (x+)=f (x) ∴T=

3令z=xx+

则：f

(x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2) 2525=3sin(x4)=f (x+4) ∴T=4 252小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A0, xR) 周期T=y=Acos(ωx+φ)也可同法求之

例4 求下列函数的周期： 1y=sin(2x+ )+2cos(3x-) 462 2 y=|sinx| 3 y=23sinxcosx+2cosx-1 解：1 y1=sin(2x+ y2=2cos(3x-) 最小正周期T1=

42) 最小正周期 T2=

63∴T为T1 ,T2的最小公倍数2 ∴T=2

2 T= 作图

2

3



-

注意小结这两种类型的解题规律

 3 y=3sin2x+cos2x ∴T=

三、巩固与练习

1．

y=2cos(x)-3sin(x) 443)+sin(4x-) 232．

y=-cos(3x+3．

y=|sin(2x+4．

y=cos)| 62sin+1-2sin

222四、小 结：本节课学习了以下内容：

周期函数的定义，周期，最小正周期

五、课后作业：P56 练习5、6 P58习题4．8 3 补充： 1．求下列函数的周期：

1y=sin(2x+)+2cos(3x-)

2 y=|sinx|

3 y=23sinxcosx+2cos2x-1 463cosx)-1

2 y=sin2x-4sinx+5

3 y=

43cosx2．

求下列函数的最值：

1 y=sin(3x+3．函数y=ksinx+b的最大值为2,

最小值为-4，求k,b的值。

六、板书设计：

课题

一、知识点

（一）

七、课后反思：

题选

求下列函数的周期：

（二）

例题：

1．

2． 3xx3xxcossinsin；

322222x2xsin2；

（5）ycos2x．

（3）ysinxcosx；

（4）ycos222解：（1）T4，∴周期为4；

||23xx3xx3xxcossinsincos()cosx，∴周期为2；

（2）ycos222222（1）ysin(x)；

（2）ycos（3）ycosxsinx（4）ysin22sin(x)

∴周期为2；

4xxcos2cosx，∴周期为2；

221112（5）ycosx(1cos2x)cos2x，∴周期为．

222说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为yAsin(x)的形式，再利用公式2T进行求解。

