1.4.1 全称量词优质教案设计

1.4全称量词与存在量词教学设计

一、教学目标

1、理解全称量词与存在量词的意义；

2、会判断含有一个量词的全称命题、特称命题的真假. 二、教学重难点

重点：理解全称量词与存在量词的意义并判断含有一个量词的全称命题、特称命题的真假；

难点:

判断含有一个量词的全称命题、特称命题的真假. 三、教学方法

教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果

四、教学过程

思考：

下列语句是命题吗？（1）与（3）（2）与（4)之间有什么关系？

（1）x>3；

（2）2x+1是整数；

（3）对所有的

(4)对任意一个

x



Z

，2x+1是整数。

我们知道，命题是可以判断真假的陈述句。

语句（1）（2）含有变量x，由于不知道x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题。

语句（3）（4）用短语“对所有的”、“对任意一个”对变量x进行限定，从而成为可以判断真假的语句，因此是命题。

一、全称命题

短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“

含有全称量词的命题，叫做全称命题

常见的全称量词还有：“对一切”，“对每一个”，“任给”，“所有的”等

,2n

1是奇数；

例如，命题：1.对任意的

n



Z

2.所有的正方形都是矩形；都是全称命题。

全称命题自然语言表达

通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)表示，变量x的取值范围用M表示。

全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立。

简记为:xM,p(x)读作“任意x属于M，有P(x)成立”。

例1 判断下列全称命题的真假：

1）所有的素数都是奇数；

2）xR,x211;

3）对每一个无理数x，x2也是无理数.想一想；

下列语句是命题吗？1）与），32）与4）之间

有什么关系？

1)2x13；2)x能被2和3整除；

3)存在一个xR,使2x13；

4)至少有一个xZ,x能被2和3整除。二、特称命题

短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常叫做存在量词．用符号“

”表示。

含有存在量词的命题，叫做特称命题。

常见的存在量词还有“有些” “有一个” “对某个” “有的”等. 特称命题自然语言表达：

特称命题“存在M中的元素x0，有p(x0)成立.

简记为:x0M,p(x0)

读作“存在M中的元素x0，使P(x0)成立”。

例如,命题: •

有的平行四边形是菱形; •

有一个素数不是奇数; •

有的向量方向不定; •

存在一个函数,既是偶函数又是奇函数; •

有一些实数不能取对数. 这些命题都是特称命题

例1 判断下列特称命题的真假：

1）有一个实数x，使x2+2x+3=0成立；

2）存在两个相交平面垂直同一条直线；

3）有些整数只有两个正因数.

注意：判断一个命题是全称命题还是特称命题，其关键是：

1.要明确命题给出的性质是针对给定集合的所有元素还是针对个别元素的，若是针对所有元素，则是全称命题；否则就是特称命题。

2.若命题中有量词出现，则可依据量词的类型做出判断。

3.有些全称命题并不含有全称量词，这时就需要我们根据命题涉及的意义去判断

试一试：

判断下列命题是全称命题还是特称命题

（1）梯形的对角线相等

（

）

省略了“所有的”，其完整的表述应为：所有的梯形的对角线相等，是全称命题

（2）有的函数既是奇函数又是偶函数

（

）

因为存在特殊函数既是奇函数又是偶函数；所以为特称命题

（3）所有负数的平方是正数（

）

（4）存在一个四边形有外接圆

（

）

（5）二次函数都存在零点

（

）

是“所有的二次函数都存在零点”的简写，所以为全称命题

（6）过两条平行线有且只有一个平面（

）

是“过任意两条平行线有且只有一个平面”的意思，为全称命题

三、全称命题和特称命题的否定

1、全称命题的否定方法：

（1）改变量词：把“全称量词”换成恰当的“存在量词”

（2）否定性质：把原命题中的“是”“成立”都改成“不是”“不成立”等。

常见的词语否定：

词语

是

一定是

都是

大于

小于

一个都没

有

词语的否定

不是

不一定不都是

小于或等大于或等至少有一是

于（不大于（不小个

于）

于）

2、特称命题的否定方法：

（1）改变量词：把“存在量词”换成恰当的“全称量词

0xy”

（2）否定性质：把原命题中的“有”“存在”等更换成“没有”“不存在”等

常见的词语否定：

词语

是

一定是

都是

大于

小于

一个都没有

词语的否定

不是

不一定不都是

小于或等大于或等至少有一是

于（不大于（不小个

于）

于）

例题讲解：

例：写出下列命题的否定

（1）所有自然数的平方是正数

（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根

（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0

（4）p：有的正方形是矩形

4.写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定

5. 命题“存在实数

x

,

y，使得

x



0，用符号表示为



x

,

y



R

,

使得

x



0

；此命题

yy

的否定是



x

,

y



R

,

使得

x



0

（用符号表示），是

假

命题（填“真”或“假”）。

y

26．下列命题不是“

x

∈R，

x

0

＞3”的表述方法的是（

）

022A．有一个

x

0

∈R，使

x

0

＞3

B. 有些

x

0

∈R，使

x

0

＞3 22C．任选一个

x

0

∈R，使

x

0

＞3

D. 至少有一个

x

0

∈R，使

x

0

＞3

五、知识小结

全称量词全称命题1、量词两种命题真假的判断

存在量词特称命题

2、全称命题和特称命题的否定并判断真假