3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计和教学实录

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

1.掌握基本初等函数的导数公式．

2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则．

3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.

教学重点：导数公式表的记忆

教学难点：应用四则运算法则求导；利用导数研究函数性质

教学过程：

一

、基础梳理

（1）基本初等函数的导数公式表

函数

导数

yf(x)xn(nQ*)

ysinx

ycosx

y'nxn1

y'cosx

y'sinx

y'axlna(a0)

y'ex

f(x)logaxf'(x)1(a0且a1)

xlna1

xyf(x)ax

yf(x)ex

f(x)logax

f(x)lnx

f'(x)2.（1）导数的运算法则

导数运算法则

''1．f(x)g(x)f(x)g(x)

''2．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

''f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x)0)

3．2g(x)g(x)

'

推论：cf(x)cf'(x)

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

'提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.

二、预习自测

1．函数f(x)＝A.1

2x3

1

的导数f′(x)等于(

) x

B．－12x

1C.2x

D．－1

2x312．曲线f(x)＝3x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(

) πA.6

πC.4

3πB.4

πD.3

3．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.

4．求下列函数的导数：

1(1) y＝2x3－x＋x；

(2) y＝2xtan x.

三、典例剖析

（一）题目类型一、利用导数公式求函数导数

例1.求下列函数的导函数：

15(1) y＝x12；

(2) y＝x4；

(3) y＝x3；

xx1(4) y＝2sincos；

(5) y＝logx；

(6)y＝3x. 222[题后感悟]

(1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．

(2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．

变式练习

1.求下列函数的导数：

1－(1) y＝xx；

(2) y＝log3x；

(3) y＝2x；

xx(4) y＝log2x2－log2x；

(5) y＝－2sin2(1－2cos24)．

（二）题目类型二、利用公式及运算法则求函数的导数

例2.求下列函数的导数．

1(1)f(x)＝3ax3＋bx2＋c；

(2)f(x)＝xln x＋2x；

x－1(3)f(x)＝；

x＋1(4)f(x)＝x2·ex.

[题后感悟]

(1)应用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确记忆公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．

(2)在求较复杂函数的导数时，首先利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形．如，把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂，然后再求导，这样可减少计算量．

变式练习

2.求下列函数的导数．

(1)y＝x·tan x；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

(3)y＝x＋32；(4)y＝xsin x－cos x；

x2＋3x5＋x7＋x9(5)y＝；

xxx(6)y＝x－sin2cos2.

（三）题目类型三、求导法则的综合运用

. 例3、求曲线y＝x＋x在点(1,2)处的切线在x轴上的截距．

[题后感悟]

求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程，关键是确定切线的斜率，即函数在x＝x0处的导数值，然后用点斜式写出切线方程，研究其有关性质．

变式练习

3、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在(2，－1)处的切线方程为y＝x－3，求a，b，c的值．

四、课堂小结

1．求导数的方法

(1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数．

(2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的四则运算法则求导数．

12．指数函数、对数函数的导数公式的记忆，对于公式(ln x)′＝x、(ex)′＝ex很好1记．但公式(logax)′＝xln a，(ax)′＝ax·ln a的记忆比较难，特别是ln a的位置易记混，应从以下两个方面加深对公式的理解和记忆．

(1)区分公式的结构特征，既要从纵的方面(ln x)′与(logax)′，(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分，找出差异，记忆公式．

(2)对公式(logax)′可用(ln x)′和求导法则证明来帮助记忆．

ln x111(logax)′＝(ln a)′＝ln a·＝xx·ln a. 3．两个函数积与商的导数的注意点

(1)在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及f′xfx′＝的错误；

g′xgx(2)在两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数中是“＋”号，而商的导数中分子上是“－”号．

五、课后作业

固学案3.2.2