小结教学设计(第一课时)

立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离

一、知识回顾

rr1、设a、b分别是异面直线l、m的方向向量，直线l、m所成的角为，

rrabrr则coscosabrr（突出显示区域为板书内容，下同）

abrr2、设直线l的方向向量是a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，

rranrr则sincosanrr

anrur3、设在二面角l中，半平面的法向量为n，半平面的法向量为m，二面角l的大小为，

urrmnurr当为锐角时，coscosmnurr

mnurrmnurr当为钝角时，coscosmnurr

mn

二、例题讲评

AC22，

(2012·大纲版全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，PA2，E是PC上的一点，PE2EC。

(1)证明：PC平面BED；

(2)设二面角APBC为90°，求PD与平面PBC所成的角的大小。

1、作图：

学生自己先读题，教师在黑板上作图。

2、审题：

引导学生一起审题，判断菱形ABCD有什么性质，从已知条件可以推出什么结论，等等。还可以把立体图形解构成平面图形来研究。通过引导，让学生在头脑中构造出对几何体的整体印象。

3、选择解题方法：

若用几何法，（1）中易证明PCBD，但接下来证明PCBE或PCOE均不方便。（2）中更加难以找出平面PBC的垂线，也就难找到PD与平面PBC所成的角。所以选择向量法更方便。

4、选择建系方法：

一般是找三条直线两两垂直。但本题中不存在这样的已知直线，考虑到“底面ABCD为菱形”，可以选择AC与BD的交点为原点，直线AC与BD为x轴和y轴。优点是所有点都在坐标轴或坐标平面内。也可以利用“PA底面ABCD”的条件，以A为原点，直线AC与AP为x轴和z轴建立空间直角坐标系。这里选择前一种建系方法。

规范解答：

设AC与BD交于点O，如图，以O为原点，直线AC与BD为x轴和y轴建立空间直角坐标系。

常见误区：

（1）以直线AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。忽视AB与AD不一定垂直；

（2）以O为原点建系，认为z轴是直线OE。

5、确定坐标：

A、C、P的坐标容易找到，难点主要有两个：E点的坐标与B、D的坐标。前一个难点利用“C、E、P三点共线，E是CP的三等分点”来突破。后一个则需要设OB的长度，进而确定B、D的坐标，这也是本题的一个特点。

规范解答：

uur易知A(2,0,0)、C(2,0,0)、P(2,0,2)，则CP(22,0,2)

uuur1uur22222,0,)，可得E点坐标为(,0,)

由题设知CECP(33333设OBODa（a0），则B(0,a,0)，D(0,a,0)

6、证明位置关系：

建系并确定坐标之后，证明“PC平面BED”就很方便了。

规范解答：

uuruuur22,a,)，BD(0,2a,0)

显然BE(33uuruuuruuruur44则CPBE00，CPBD0000，

z O x y 33即CPBE，CPBD

又因为BE与BD是平面BED内两条相交直线，所以PC平面BED

7、求空间角：

第（2）小题要求PD与平面PBC所成的角的大小，显然要求出平面PBC的法向量和直线PD的方向向量。但在建系的过程中，点B与点D的坐标中都含有未知数a，应该先要求出a来。条件中“二面角APBC为90°”的作用很有可能就是用来求a。那么，应该怎样利用这一条件呢？比较容易想到的是利用平面PBA与平面PBC的法向量垂直，数量积为0，列方程求a。也可以利用平面PBA与平面PBC垂ruuuruuu直，过点A作PB的垂线AH，AH平面PBC，则AH与BC数量积为0，列方程求a。这里采用前一种方法。

规范解答：

uurruuur设n(x,y,z)是平面PBC的一个法向量，CP(22,0,2)，BC(2,a,0)

ruurz2xrnCP22x2z0则ruuu，解得r2，令xa，则n(a,2,2a)

xynBC2xay0aur同理，可求得平面PBA的一个法向量为m(a,2,0)（求法向量的过程也可以安排学生自己完成）

urr由题设知：平面PBA与平面PBC垂直，则mn0

即a2200，解得a2

ruuur从而平面PBC的一个法向量n(2,2,2)，PD(2,2,2)，

ruuurruuurnPD2241，

则cosnPDruuur22222nPD即PD与平面PBC所成的角的正弦值为1，所成角的大小为30。

2常见误区：

（1）计算不熟练，花费较长时间，或者出现计算错误；

（2）分不清“直线的方向向量与平面的法向量的夹角”和“直线与平面所成的角”之间的关系。

三、练习

如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点。

（1）证明：PEBC；

（2）若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值。

1、审题：

可以单独把底面的等腰梯形ABCD画在一边，由题设中的条件结合平面几何的知识，可以判断HAHB，HCHD，等等。将立体图形平面化，有助于学生弄清图形的位置关系，在头脑中对几何体产生正确的认识。

2、分析：

本题几何体中，易证HA、HB、HP两两垂直，可考虑以H为原点建系。但由于各线段长度均未知，难以确定坐标，需要设未知数，这样就与例题相似了。但本题中需要设的未知数更多，要确定各点的坐标，需要设出HA、HB、HP的长度，至少要三个未知数，这样的话你还能不能求出相应的结果？

3、学生解答：

留足时间让学生自己尝试完成，教师巡视指导，要求学生按例题的步骤方法，先找准坐标，再证明第（1）小题的垂直关系。第（2）小题注意“APBADB60”的条件有什么用，能利用它求出未知数吗？根据学生完成情况加以引导，必要时统一点评，让学生巩固对本课内容的掌握。

四、归纳

（1）解题时要先判断用几何方法还是用向量方法更方便。

（2）用向量方法时要选择恰当的坐标系，是尽可能多的点在坐标轴上。同时要注意建成右手系。

（3）正确地找出相关点的坐标。如果已知条件不足，还需要在坐标中设未知数。以后再利用其它条件求出未知数来。

（4）求平面的法向量的方法及向量的运算等基本技能要熟练掌握。

（5）立体图形平面化的方法。

五、作业

1、课时提升作业（四十九）

2、预习后面的内容

课后反思：

在实际授课中，对例题的分析比较全面，如几何方法与向量方法的选择，不同坐标系的选择，不同解法的选择，还从反面举了一些学生容易犯的错误。图形美观，板书整齐，解答过程符合高考答题规范。在立体几何的教学中，对立体图形平面化的手段用得比较到位，使学生能迅速准确的认识相应的几何体，为后续的答题打好基础。课堂上师生互动较好，从练习完成情况看学生对这一内容的掌握比较到位，达到了较好教学效果。

讲评例题时对几何方法稍微深入的探讨了一下，第（1）小题在口头上证明了一下PCOE，主要是用三角形相似，同时将平面图形画好以供学生参考；第（2）小题分析了思路，留给学生课后自己探究。这样处理对基础较好的学生更有利。

此外，在授课中有一个班在讲解例题的第（2）小题时用得是另一种方法。因为考虑到求法向量的方法比较普通常规，学生已经理解，而相应的训练做得也比较多。所以想补充一下“过A点作PB的垂线，求垂足的坐标”的方法，使学生多认识一种解法。就本题而言，后一种方法比较复杂，因为未知数多了一个，但学生也能理解。