1.2.1 充要条件名师教学实录

第3节

充分条件与必要条件

最新考纲

1.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 知

识

梳

理

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

诊

断

自

测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)“x2＋2x－3<0”是命题.(

) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(

) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(

) (4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.(

) 解析

(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.

(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论. 答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

π2.(教材练习改编)命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是(

) πA.若α≠4，则tan α≠1

πC.若tan α≠1，则α≠4

πB.若α＝4，则tan α≠1 πD.若tan α≠1，则α＝4

p

p⇒q且qpp

且q⇒p

p⇔q

q且qp

解析

命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan αππ≠1，綈p：α≠4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠4”.

答案

C 3.(2016·天津卷)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(

)

A.充要条件

B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件

解析

x>yx>|y|(如x＝1，y＝－2).

但x>|y|时，能有x>y.

∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件. 答案

C 4.命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(

) A.1

B.2 C.3

D.4 解析

原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题. 答案

B 5.(2017·大连双基检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

若f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)，所以p⇒q；若f(x)＝x，当x＝0时，f(0)＝f(－0)，而f(x)＝x为奇函数，所以qp.

∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条件. 答案

A 考点一

四种命题的关系及其真假判断

【例1】

(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(

) A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题

B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题

C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题

D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题

(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A.真、假、真

C.真、真、假

B.假、假、真

D.假、假、假

解析

(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.

(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假. 答案

(1)C

(2)B 规律方法

(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.

【训练1】

已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(

) A.否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题

B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题

C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题

D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题

解析

由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，

∴m≤1.

因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题. 答案

D 考点二

充分条件与必要条件的判定

【例2】

(1)函数f(x)在x＝x0处导数存在.若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值

点，则(

) A.p是q的充分必要条件

B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件

(2)(2017·衡阳一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(

) A.充要条件

B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

q.例如f(x)＝x3，在x＝0处f′(0)＝0，f(x)C.必要不充分条件

解析

(1)由极值的定义，q⇒p，但p＝x3是增函数，x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点.

因此p是q的必要不充分条件.

(2)直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件. 答案

(1)C

(2)B 规律方法

充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.

(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件. 【训练2】

(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α

，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.

因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件. 答案

A 考点三

充分条件、必要条件的应用(典例迁移) 【例3】

(经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围. 解

由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}. ∵x∈P是x∈S的必要条件，

则S⊆P. 1－m≥－2，∴解得m≤3. 1＋m≤10，又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0. 综上，可知m≥0≤3时，x∈P是x∈S的必要条件. 【迁移探究1】

本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？

解

由例题知P＝{x|－2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

1－m＝－2，m＝3，∴∴这样的m不存在. 1＋m＝10，m＝9，【迁移探究2】

本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解

由例题知P＝{x|－2≤x≤10}. ∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P是S的充分不必要条件，

∴P⇒S且SP. ∴[－2，10][1－m，1＋m]. 1－m≤－2，1－m<－2，∴或

1＋m>101＋m≥10，∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞). 规律方法

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之

间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；

(2)要注意区间端点值的检验. 【训练3】

ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是________. 1解析

当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根x＝－2.

当a≠0时，原方程为一元二次方程，

又ax2＋2x＋1＝0只有负实根，

－2＜0，所以有a1a＞0，答案

0≤a≤1 Δ＝4－4a≥0，即0＜a≤1.

综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1.

[思想方法] 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要条件的几种判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}；若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件. [易错防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.

3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.