3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优质课一等奖

3.1.4空间向量的坐标表示

一、教学内容分析

本节课为高中二年级《空间向量及其应用》的第三节第四课时的内容.该课是在二维平面直角坐标系基础上的推广，是空间立体几何的代数化.教材通过一个实际问题的分析和解决，让学生感受建立空间直角坐标系的必要性，内容由浅入深、环环相扣，体现了知识的发生、发展的过程，能够很好的诱导学生积极地参与到知识的探究过程中. 在研究过程中，可以运用类比、交换、数形结合等数学思想方法，有效地培养学生的思维品质.在求空间直角坐标系中点的坐标时，学生不仅会很自然地运用类比的思想方法，同时也锻炼了他们的空间思维能力.这节课是为下节课《空间向量及其运算》打好基础.同时，在空间直线、平面中异面直线学习时，有些求异面直线所成的角的大小，借助于空间向量来解答，要容易得多，所以，本节课为沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到很重要的作用. 二、教学目标设计

1、通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定的方法. 2、从求空间点的坐标的过程进一步形成空间思维的能力. 三、教学重点及难点

1、重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标。

2、难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标. 四、教学用具准备

运用多媒体展示

五、教学流程设计

六、教学过程设计

（一）情景引入

1．回顾旧知识：平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法，平面内的点与坐标之间的一一对应关系，等等. 2．我们知道平面向量可以通过建立直角坐标系用坐标方法进行研究，使向量的运算转化为坐标的运算.那么，空间向量是否也可以用坐标方法进行研究呢？

思考（1）：在空间中如何建立直角坐标系？

思考（2）：如何表示空间向量

讨论：如何用坐标来表示空间向量？

（二）学习新课

1、空间直角坐标系的建立

取有公共原点O的三条两两垂直的直线，且有相同单位长度的数轴Ox, Oy, Oz, 这样就构成了一个空间直角坐标系.点O称为原点，x轴，y轴，z轴称为坐标轴.由x轴和y轴构成的平面称为xoy平面.空间直角坐标系将空间分为八个卦限，如下图所示：

（2）与平面直角坐标系内点的坐标的确定过程，讨论空间直角坐标系内点的坐标的确定过程，了解点在面上的投影及点在线上的投影等概念，熟悉空间向量的坐标表示过程. 2、例题与练习：

例1已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB =14，AD =6，AA1 =10 以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA1分别为Ox、Oy、Oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标. 讨论：若以C点为原点，以射线BC、CD、CC1 方向分别为Ox、Oy、Oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？

得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同. 3、练习：V-ABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB=2，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标. 4、思考题：建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标. （三）回归情景：如何用坐标表示来进行向量运算 （四）课堂练习：

（五）课堂小结

（六）布置作业：见练习册

七、教学设计说明

本节课主要采用了启发式教学方法，通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动.首先，为了使学生比较顺利地从平

面到空间的变化，即从二维向量到三维向量的变化，我采用了类比的数学教学手段，顺利地引导学生实现了这一转化，同时也引起了学生的兴趣.然后，从与平面直角坐标系内点的坐标是借助一个长方形得到的过程，使学生顺理成章地想到空间点的坐标可能是通过借助长方体得到的，让学生亲手实践后，证实了这一结论，增强了学生学习的信心.此后，马上将书上的例1作为学生的口答练习，（一般学生都能回答正确）然后，及时提出问题；如果改变坐标系的确定方法，点的坐标会发生什么变化？经过思考，学生一般也能回答正确，同时，又让学生明确了：坐标系建立的不同，得到的点的坐标也不同.再让学生练习正四棱锥、正三棱锥的空间直角坐标系的建立方法以及根据不同的坐标系，求出各顶点的坐标. 在整个教学过程中，内容由浅入深、环环相扣，不仅使学生在学习过程中了解了知识的发生、发展的过程，也使学生尝到了成功的喜悦，对于增强学生的学习信心，起到了很好的作用.