测试教学目标

26．1

二次函数的图象与性质（1）

[本课知识要点] 会用描点法画出二次函数yax2的图象，概括出图象的特点及函数的性质．

[MM及创新思维] 我们已经知道，一次函数y2x1，反比例函数y

，那么二次函数yx2的图象是什么呢？

（1）描点法画函数yx2的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？

（2）观察函数yx2的图象，你能得出什么结论？

[实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

（1）y2x2

解

列表

x …

…

-3 18 -2 8 -1 2 0 0 1 2 2 8 3 18 …

…

（2）y2x2

3的图象分别是

、

xy2x2

y2x2…

-18 -8 -2 0 -2 -8 -18 …

分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．

不同点：y2x2的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．

y2x2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．

回顾与反思

在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．

例2．已知y(k2)xk2k4是二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴．

k2k42解

（1）由题意，得，

解得k=2．

k20

（2）二次函数为y4x2，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．

例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．

（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；

（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；

（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．

分析

此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．

解

（1）由题意，得S列表：

C 2 4 1 6 8 4 …

…

12C(C0)．

16S12C

161

49

4描点、连线，图象如图26．2．2．

（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．

（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．

回顾与反思

（1）此图象原点处为空心点．

（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．

（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．

[当堂课内练习] 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

22（1）y3x

（2）y3x

（3）y12x 32．（1）函数y22x的开口

，对称轴是

，顶点坐标是

；

312（2）函数yx的开口

，对称轴是

，顶点坐标是

．

43．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．

[本课课外作业] A组

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

2（1）y4x

（2）y12x

42．填空：

（1）抛物线y5x，当x=

时，y有最

值，是

．

2

（2）当m=

时，抛物线y(m1)xm（3）已知函数y(k2k)xk随x的增大而增大．

3．已知抛物线ykxk222m开口向下．

2k1是二次函数，它的图象开口

，当x

时，yk10中，当x0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；

（2）作出函数的图象（草图）．

4．已知抛物线yax2经过点（1，3），求当y=9时，x的值．

B组

5．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5 cm3．

6．二次函数yax2与直线y2x3交于点P（1，b）．

（1）求a、b的值；

（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．

1．

一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）．

（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；

（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出⊿MON的面积．