3.3.4 两条平行直线间的距离优秀说课稿

3.3.3 --3.3.4点到直线的距离、两条平行直线间的距离

——谢璋琦

教学目标：

1.知识与技能：

1）理解点到直线距离公式的推导，

2）熟练掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间距离；2.过程与方法

经历两点间距离公式的推导过程，会用点到直线距离公式求解两平行线距离

王新敞3.情感、态度与价值观：

认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题

王新敞教学重难点

重点：点到直线的距离公式.

王新敞难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学过程

（一）创设情境，导入新课

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的交点问题，两点间的距离公式，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法。这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离。下面先请大家当一回工程师为铁路建造解决一个问题

在铁路MN附近P地要修建一条公路使之与铁路MN连接起来,如何设计才能使公路最短?（引导学生得出解决此问题的实质就是求点到直线的距离，引导学生思考一点到直线的距离计算能否用两点间距离公式进行推导？。）

【设计意图】通过具体实例让学生有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长。这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。

（二）

师生互动，探究新知

（1）点到直线的距离公式

思考1：在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0,y0)，直线方程为一些特殊方程时（如直线为x轴、y轴或者更普通的xx0、yy0）如何用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距

离呢? 【设计意图】由特殊的直线先让学生体会求特殊情况下的点到直线的距离。

思考2：点P的坐标为(x0,y0)，直线方程为l:AxByC0（A0,B0），求点P到直线l的距离。

方案一：

设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为B（A≠0），根据点斜式写A出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d. 此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法

王新敞方案二：

设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(x1,y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0,y2)，

A1x1By0C0By0CAx0C,y2由得x1

AxByC0AB20yRQoSlxdP(x0,y0)Ax0By0C所以，｜PＲ｜＝｜x0x1｜＝

AAx0By0C｜PS｜＝｜y0y2｜＝

B｜ＲS｜＝PRPS22A2B2×｜Ax0By0C｜

AB由三角形面积公式可知：d·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜

所以dAx0By0CAB22

可证明，当A=0或B=0时仍适用

点到直线距离公式：

点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：d注：若A0或B0，上述公式也成立。

Ax0By0CAB22. 【设计意图】由特殊直线过渡到一般直线，让学生在逻辑思维推理能力上有一个循序渐进的过程。同时利用数行结合法，分析问题，让学生直观感受到解析几何中图象的重要性。

例1、（课本P107例5）求点P(1,2)到下列直线的距离

（1）l1:2xy100（2）l2:3x2的距离。

解：（1）d|21210|221231251025（2）d223530

例2、（课本P107例6）已知点A13，，，，，B31C-10，求三角形ABC的面积。

解：设AB边上的高为h，则

SABC= AB1ABh

222y A（1，3）

311322，

h C（-1，0）

O x AB边上的高h就是点C到AB的距离. B（3，1）

y3X1AB边所在直线方程为即x+y-4=0。

1331

点C到x+y-4=0的距离为h=1041125，

2因此，S=15225

22【设计意图】通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

思考3：何为两条平行直线间的距离？

教师引导，学生讨论得两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长。

思考4：设直线l1∥l2，如何求l1与l2之间距离？

学生讨论后得两平行线间的距离可转化为点到直线的距离来求解

思考5：如何取点可使计算简单些？

学生讨论可取与x轴交点或与y轴交点。

例3、（课本P108例7）已知直线l1:2x7y80,l2:6x21y10，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离。

师生一起分析讨论得：两直线是否平行就看其斜率是否相等。若平行，l1与l2间的距离可利用点到直线的方法求得。

解：l1的斜率k1262，即：k1k2

，l2的斜率k27217所以l1∥l2。在直线l1上任取一点A（4，0），

点A（4，0）到直线l2的距离为：

d64210162212232353。

353159所以l1与l2间的距离为2353。

159【设计意图】通过此例训练学生学会把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离。

（2）两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10,l2AxByC20(C1C2)

则l1与l2的距离为dC1C2AB22

证明：设P0(x0,y0)是直线AxByC20上任一点，则点P0到直线AxByC10的距离为dAx0By0C1AB22

又

Ax0By0C20

即Ax0By0C2，∴dC1C2AB22 故由两平行线间的距离公式，可得例三的解法二，如下：

解：因为A1A22所以l1∥l2

B1B2710 3因为l2:6x21y10l2:2x7y所以C18,C2

13

由两平行线间的距离公式得d18()32(7)222323353

15953【设计意图】再次通过例3让学生掌握一题多解，拓宽思维，熟练运用两平行线间的距离公式。

（三）当堂训练，提高拓展

1、若点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为2，则点P的坐标为(

) A.(1,2)

B.(2,1) C.(1,2)或(2，-1)

D.(2，1)或(-1，2) 2、点P(2，3)到直线ax+(a－1)y+3=0的距离等于3，则a的值等于

. 3、直线l1过点A(0,1), l2过点B(5,0),如果l1l2,且l1与l2的距离为5,求l2,l2的方程. （四）课堂小结，巩固反思

1、点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：dAx0By0CAB22

2、已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10,l2AxByC20

则l1与l2的距离为dC1C2A2B2

特别注意：x与y的系数应化为相等。

（五）布置作业

课本P108练习1、2 课本P109练习

（六）板书设计

3.3.3 --3.3.4点到直线的距离、两条平行直线间的距离

一、点到直线距离

例1、

点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为

例2、

例3、

dAx0By0CA2B2二、两平行直线间的距离

l1：AxByC10,l2AxByC20(C1C2)

则l1与l2的距离为d

C1C2AB22