1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）第二课时教学设计

空间几何体的表面积与体积的习题课

一、教学目标

（1）掌握以三视图为载体的几何体的表面积和体积问题。

（2）掌握一些简单的与球有关的切、接问题。

（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

二、教学重点、难点

重点：柱体、锥体、台体、球的表面积和体积计算

难点：与球有关的切，接问题。

三、教学过程

（一）复习（由学生回答）

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l

2．空间几何体的表面积与体积公式

名称

表面积

体积

几何体

柱体(棱柱和圆柱)

S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体(棱锥和圆锥)

S表面积＝S侧＋S底

V＝13Sh

台体(棱台和圆台)

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝13(S上＋S下＋S上S下)h

球

S＝4πR2

V＝43πR3

考点一

空间几何体的表面积基础送分型考点——自主练透

例1（1.）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(

) A．8＋22

B．11＋22 C．14＋22

D．15 解析：选B

由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．

直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋122，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋222. （2）．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于(

)

A．34＋65

C．34＋63

B．44＋125 D．32＋65 解析：选A

由三视图知几何体底面是一个长为6，宽为2的矩形，高为4的四棱锥，111所以该几何体的表面积为×6×25＋×6×4＋2××2×5＋6×2＝34＋65，故选A. 222

[谨记通法]

几何体的表面积的求法

(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．

(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．注意衔接部分的处理．

考点二

空间几何体的体积重点保分型考点——师生共研

例2（1）．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

22A.

342C.

323B.

343D.

3解析：选D

由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如图所示．底面ABCD的面积为2×2＝4，高PO＝3，故该几143何体的体积V＝×4×3＝. 33（2）．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________，表面积等于________．

解析：如图，由三视图可知该几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的一1半，故该几何体的体积为×π×22×3＝6π，

21表面积为2××π×22＋4×3＋π×2×3＝10π＋12. 2答案：6π

12＋10π

考点三

与球有关的切、接问题题点多变型考点——多角探明

与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变．

常见的命题角度有：

(1)球与柱体的切、接问题；

(2)球与锥体的切、接问题．

例3．已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(

) 317A.

213C.

2B．210 D．310

解析：选C

如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点151M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝

22213＝. 2

变1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？

解

由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.

变2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S与其内切球的表面积152＋622S的比值为多少？

2过关检测

1．若球O的表面积为4π，则该球的体积为________．

解析：由题可得，设该球的半径为r，则其表面积为S＝4πr2＝4π，解得r＝1.所以其体44积为V＝πr3＝π.

334答案：π

32．(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．

2．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．

解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S＝3×41×2＋2×2×2＋4×22×2＋4×6＋×(2＋6)×2×2＝72＋162. 2答案：72＋162