习题4.2精品学案

4.2.1《直线与圆的位置关系》教案

高平一中实验校 数学组 袁霞

【教学目标】 知识与技能

（1）理解直线与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；

（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

过程与方法

理解直线和圆的位置关系，感受直线和圆的位置与它们的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系；体验通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小及通过方程组的解的个数判断直线与圆的位置关系.用直线和圆的方程解决一些条件下圆的切线问题，领会数形结合的数学思想方法，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。

情感、态度与价值观

让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“数形结合”等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯。

【教学重点】

直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 【教学难点】

用坐标法判断直线与圆的位置关系．

【教学设计】

一、情境导入

问题：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域。已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处。如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？

启发学生对问题思考、讨论、交流，然后师生共同将实际问题转化为数学问题，引入新课：直线与圆的位置关系。

二、探究新知

1.

探究直线与圆的位置关系：相离、相交、相切

画出直线与圆的三种不同情况，引导学生观察图形，利用类比、归纳的方法，总结出直线与圆的三种位置关系，进一步深化“数形结合”的数学思想。

2.

探究直线和圆的位置关系的判定方法

问题：判断直线3x+4y-5=0与圆x+y=1，判断它们的位置关系. 学生先动手思考，动手解题，教师巡视，注意观察学生的不同解法，然后引导学生进行交流讨论判定直线与圆位置关系的方法. 总结出直线与圆位置关系的两种判定方法. （1）几何法：

设直线l：Ax+By+C=0，圆O：(x-a)+(y-b)=r(r>0)

圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断

（1）当 时，直线l与圆O相离；图像为 （2）当 时，直线l与圆O相切；图像为 （3）当 时，直线l与圆O相交；图像为 （2）代数法：依据依据直线与圆的方程组成的方程组有几组实数解确定

设直线l：Ax+By+C=0，圆O：(x-a)+(y-b)=r(r>0)，将直线l的方程代入圆O的方程，消去y得到关于x的一元二次方程式，那么：

（1）当 时，直线与圆没有公共点，直线l与圆O . （2）当 时，直线与圆有且只有一个公共点，直线l与圆O . （3）当 时，直线与圆有两个不同的公共点，直线l与圆O . 三、应用举例

例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x+y-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.

2222222222

师生活动:学生思考或交流,回顾判断的方法与步骤,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价;方法一,判断直线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.

解：法一:由直线l与圆的方程,得

3xy60,22xy2y40.消去y,得x2-3x+2=0, 因为Δ=(-3)2-4×1×2=1＞0, (1)(2)

所以直线l与圆相交,有两个公共点. 法二：圆x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心C的坐标为(0,1),半径长为5,圆心C到直线l的距离d=|3061|3122=510＜5.所以直线l与圆相交,有两个公共点. 由x2-3x+2=0,得x1=2,x2=1.把x1=2代入方程（1）,得y1=0;把x2=1代入方程（1）,得y2=3.所以直线l与圆相交有两个公共点,它们的坐标分别是(2,0)和(1,3). 分析例1，并展示解答过程；引导学生继续感受判断直线与圆的位置的两种方法及步骤，注意给学生留有总结思考的时间。

点评：比较两种解法，我们可以看出，几何法判断要比代数法判断快得多，但是若要求交点，仍需联立方程组求解。

例2.已知过点M(-3，3)的直线l被圆x+y+4y-21=0所截得的弦长为4√5，求直线l的方程.

22

小组合作：学生思考或讨论,教师引导学生考虑问题的思路,求直线l的方程,一般设点斜式,再求斜率.这里知道弦长,半径也知道,所以弦心距可求,如果设出直线的方程,由点到直线的距离等于弦心距求出斜率；另外也可利用弦长公式,结合一元二次方程根与系数的关系求解. 解：法一：将圆的方程写成标准形式有x2+(y+2)2=25,所以圆心为(0,-2),半径为5. 因为直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为45, 所以弦心距为5(25)=5,圆心到直线的距离为5, 由于直线过点M(-3,-3),所以可设直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0. 根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为5, 因此d=22|23k3|k21=5,两边平方整理得2k2-3k-2=0,解得k=1,k=2. 2所以所求的直线l的方程为y+3=1(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0. 2法二：设直线l和已知圆x2+y2+4y-21=0的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k, 由于直线过点M(-3,-3), 所以可设直线l的方程为y+3=k(x+3),即y=kx+3k-3. 代入圆的方程x2+y2+4y-21=0,并整理得(1+k2)x2+2k(3k-1)x+(3k-1)2-25=0. 结合一元二次方程根与系数的关系有

(3k1)2252k(3k1)x1+x2=,x1·x2=.

①

1k21k2AB(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2k2(x1x2)2(1k2)(x1x2)2(1k2)[(x1x2)24x1x2]

因为|AB|=45,所以有

(1+k2)［(x1+x2)2-4x1·x2］=80.

②

2k(3k1)2(3k1)225把①式代入②式,得(1+k){［］-4}=80.221k1k2[来源：全品…中&高*考+网]

1,k=2. 21所以所求的直线l的方程为y+3=(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0. 2经过整理,得2k2-3k-2=0,解得k=教师：指导学生阅读并完成例2.并思考。通过例2，你能说出例题中体现出来的数学思想方法吗？

学生：思考交流讨论，在教师的引导下理解并感受数形结合的思想。

点评:解法一突出了适当地利用图形的几何性质有助于简化计算,强调图形在解题中的作用,加强了数形结合;解法二是利用直线被曲线截得的弦长公式求出斜率后求直线方程,思路简单但运算较繁.

【讲练结合】

1.判断直线,

3x4y20与圆xy2x0的位置关系. 2.已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程. 3.已知直线4x3y350与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程。

4.已知直线l:yx6,圆C:xy2y40，试判断l与圆C有无公共点，有几个公共点？

四、知识拔高

1.(2009年高考重庆卷)直线y＝x＋1与圆xy1的位置关系是( B ) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离

2.(2010年高考课标全国卷)圆心为原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为

3.已知直线l:xy30与圆c:(xa)(y2)4(a0) ,当直线l被圆c截得的弦长为23时，a等于（C

）

A．2 B．22 C． 21 D．21

4.(2010年高考湖北卷)若直线yxb与曲线y34xx有公共点，则b的取值范围是（ C ）

222222222

A．1,122 B．122,122 C．122,3 D．1【师生互动】1.学生定时训练，教师巡视发现出现的问题

2.找一学生回答结果

2,3

点评：解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本数量关系，养成勤画图的良好习惯．

五、归纳小结

1.直线与圆的位置关系的判断：代数法、几何法

2.用到的数学思想：数形结合的思想

六、布置作业

1.教材第128页练习第2、4题

2.教材第132页习题4.2A组第1、3题

七、板书设计

八、课后反思