2.1.4 平面与平面之间的位置关系教案（名师）

教学设计

2.1.4

平面与平面之间的位置关系

整体设计

教学分析

空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点．空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系．本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系．

三维目标

1．结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系．

2．进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换．

3．培养学生全面思考问题的能力．

重点难点

平面与平面的相交和平行．

课时安排

1课时

教学过程

复习

1．直线与直线的位置关系：相交、平行、异面．

2．直线与平面的位置关系：

①直线在平面内——有无数个公共点，

②直线与平面相交——有且只有一个公共点，

③直线与平面平行——没有公共点．

导入新课

思路1.(情境导入) 拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？

思路2.(事例导入) 观察长方体(图1)，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

图1

推进新课

新知探究

提出问题

①什么叫做两个平面平行？

②两个平面平行的画法. ③回忆两个平面相交的依据. ④什么叫做两个平面相交？

⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系．

活动：先让学生思考后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．

问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义．

问题②怎样体现两个平面平行的特点．

问题③两个平面有一个公共点，两平面是否相交．

问题④回忆公理3. 问题⑤鼓励学生自我训练．

讨论结果：

①两个平面平行——没有公共点．

②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.

图2

图3

③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l. ④两个平面相交——有一条公共直线．

⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β＝∅，则α∥β.如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β＝AB，则α与β相交．

两平面平行与相交的图形表示如图4.

图4 应用示例

思路1 已知平面α，β，直线a，b，且α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？

活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．

解：如图5，直线a与直线b的位置关系为平行或异面．

图5 2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论．

解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条，如图6.

图6

变式训练

α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是(

) A．α、β都平行于直线l、m

B．α内有三个不共线的点到β的距离相等

C．l、m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β

D．l、m是两条异面直线，且l∥α、m∥α、l∥β，m∥β

分析：如图7，分别是A、B、C的反例．

图7 答案：D 点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维. 思路2 1 α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，试判断直线a、b的位置关系，并画图表示．

活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．

解：如图8，直线a、b的位置关系是平行、相交、异面．

图8 变式训练

α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b∩α＝P，试判断直线a、b的位置关系，并画图表示．

解：如图9，直线a、b的位置关系是相交、异面．

图9 直线a、b不可能平行，这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会，学完下一节后可以证明.

点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系，目的在于培养学生的空间想象能力. 知能训练

三棱柱的各面把空间分成几部分？

解：分为21部分．

拓展提升

已知平面α∩平面β＝a，b⊂α，b∩a＝A，c⊂β且c∥a，

求证：b、c是异面直线．

证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交．

(1)若b∥c.∵a∥c，∴a∥b. 这与a∩b＝A矛盾．

(2)若b、c相交于B，则B∈β.又a∩b＝A，∴A∈β. ∴AB⊂β，即b⊂β.这与b∩β＝A矛盾．

∴b，c是异面直线．

课堂小结

本节主要学***面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：

①两个平面平行——没有公共点；

②两个平面相交——有一条公共直线．

另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点．

作业

课本习题2.1

B组1、2、3. 设计感想

本节内容较少，与上一节课一样，教材没有讨论面面平行的判定和性质，只介绍了平面与平面的位置关系．平面与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们的空间想象能力和发散思维能力．

备课资料

两个平面把空间分为几部分？三个平面可以把空间分为几部分？

解：(1)如图12，两个平面把空间分为3部分或4部分．

图12 (2)如图13，三个平面把空间分为4部分或6部分或7部分或8部分．

图13