4.3.2 空间两点间的距离公式教学设计第二课时

§4.3.2 空间两点间的距离公式

（一）教学目标

1．知识与技能

使学生掌握空间两点间的距离公式

2．过程与方法

经历空间两点将距离公式的推导过程

3．情态与价值观

通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程

（二）教学重点、难点

重点：空间两点间的距离公式；

难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

知识要点：

2221. 空间两点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)间的距离公式：|PP12|(x1x2)(y1y2)(z1z2). 2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：

①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；

②依题意确定各相应点的坐标；

③通过坐标运算得到答案. 3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z). 题型探究：

类型一

求空间两点间的距离

【例1】已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值.

解：|AB|=6，∴(x5)2(24)2(37)26，

即(x5)216，解得x=1或x=9. 反思与感悟

在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用

跟踪训练1

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．

1 / 3

类型二

求空间点的坐标

例2

已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为_______．

解：略

引申探究

1.

若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形

解：略

2.若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？

解：略

反思与感悟

(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.

(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.

跟踪训练2

设点P在x轴上，使它到点P1(0，

，3)的距离是到点P2(0，1，－1) 的距离的2倍，求点P的坐标. 类型三

空间两点间距离公式的应用

例3

已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝

(1)求|MN|的长；

(2)当a为何值时，|MN|的长最小

反思与感悟

距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：

(1)求空间任意两点间的距离；

(2)判断几何图形的形状；

(3)利用距离公式求最值

2 / 3

跟踪训练3

如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上.当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值.

解：略

当堂训练

1.坐标原点到下列各点距离最大的点是

A.(1,1,1)

B.(1,2,2)

D.(3,0,4)

C.(2，－3,5)

2.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝

则实数x的值是

A.－3或4

C.3或－4

B.6或2

D.6或－2

3.已知三角形的三个顶点A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则过A点的中线长为

。

4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为

。

5.已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为______.

规律与方法

1.空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.

2.若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可.若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解.

课后作业：

3 / 3