阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用教学设计及教案分析

抛物线及其标准方程教学设计

石河子高级中学

南娟

一、

教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A版教材）选修2－1中第§2．4．1节．作为圆锥曲线概念的下位概念课，众所周知，圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也是体现数形结合思想的重要载体，抛物线是学生非常熟悉的一种曲线，但对它是满足什么条件的动点的轨迹却很陌生。掌握抛物线的定义、标准方程。其中抛物线定义是推导标准方程及研究几何性质的基础，是本节课其他知识产生的核心，所以应让学生充分讨论理解其含义.推导抛物线标准方程时，建立坐标系，将几何问题代数化尤为重要，而且抛物线标准方程因建系不同而有四种方程，初学者很容易混淆，因而恰当的建系和分清四种方程都具有一定难度.为此，理解抛物线的定义是本本节课的重点。

二、教学目标分析

【知识与技能目标】

①理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导。

②明确抛物线标准方程中P的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题。

【过程与方法目标】

①通过对抛物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系。 ②熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力。

【情感态度价值观目标】

引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，

体会数学的简捷美、和谐美。

三．重、难点分析

重点：抛物线的定义及其标准方程的推导。

难点：抛物线概念的形成。

四、学情分析

学生的基础普遍较低，数学基础弱，抽象、逻辑推理能力弱，厌学情绪浓等特点，本节内容：抛物线的定义及其标准方程，借助几何画板课件，从形象、动态的演示入手，使学生对抛物线有一个较为深刻的认识。

在介绍抛物线的画法时，教师应尽量创造条件，让学生亲自动手画出抛物线，引导学生细心观察动点的运动过程，并用数学语言描述动点的运动规律，用心体会数学语言的精确性.在画抛物线的过程中，使学生明白抛物线上的点所满足的几何条件，引导学生概括出抛物线的定义。

四、教法与学法分析

（1）教法设计：自主探究法，即学生通过观察→问题，教师诱导→讨论→探索结果→归纳总结．

（2）学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识．

（3）教学手段：以“多媒体辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学生发言、板演”为主．

（4）教具准备：自做多媒体课件。

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五、教学过程设计

【教学过程】

☆情境引入☆

师：大家觉得数学有意思吗？

生：没有

师：为什么呢？

生：难

师：其实不然，数学与现实生活，人文艺术、科学技术都密切相关，不同知识领域都为数学教学提供了丰富的素材。当我们学习一个新知识时，我们从未追踪其来源，今天我们来研究抛物线，在研究抛物线之前我们先来看看它的来源。我们先来了解这个人，

圆锥曲线的第一个人，梅内克缪斯（Menaechmus）

约公元前380-前320，古希腊时代，他是古希腊数学家，为欧多克索斯（Eudoxus）的学生，又是柏拉图学园中的成员。曾为Cyzicus的学校校长，担任几何学教师，著名于一时。他是系统地研究圆锥曲线的第一个人，建立最早圆锥取线的概念，并分为三类来研究它，所以后来的学者称为梅内克缪斯（Menaechmus）三曲线。用平面截圆锥的方法研究的，用平行于底面的平面截圆锥，得到的是圆；如果平面与底面夹角较小，得到的是椭圆；如果平面与底面夹角较大，比如垂直，得到的是双曲线；用平行与母线的平面去截得到的又是什么图形？

这是我们今天这节课要探讨的。

☆探索新知☆

发现抛物线

回顾我们已学过的椭圆和双曲线是怎么来的,依据实物模型,用平面截圆锥,进行截口拟合

预学2:探究抛物线上的点所满足的几何性质

用几何画板演示,有光的反射原理

图1 第

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图2

图3

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师：我们知道,椭圆双曲线都有严格的几何定义,而且还可以根据几何定义得出解析定义(方程).那么,抛物线又有怎样的几何定义呢? 生：根据以上总结抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

师:抛物线定义中有哪几个定值? 生：定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值。

师：若点F在直线l上，轨迹方程又是什么？

生：若点F在直线l上，满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线，而不是抛物线

师：根据抛物线的几何特征，我们取经过点F且垂直与直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立直角坐标系xOy（如右图）。

pp（,0）设KF=p(p0)，那么当焦点F的坐标为，准线l的方程为x-。

22设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d。由抛物线的定义，抛物线就是点的集合PMMFd

p2ppp

)y2，d=x，所以(x)2y2=x。2222化简，得y22px(p0)。

pp（,0）即y22px(p0)为抛物线的标准方程，焦点坐标为，准线方程是x-。

22同理可证

pp（-,0）焦点坐标为，准线方程是x。

y22px(p0)为抛物线的标准方程，22pp（0,），准线方程是y-。

x22py(p0)为抛物线的标准方程，焦点坐标为22pp（0,-）焦点坐标为，准线方程是y。

x22py(p0)为抛物线的标准方程，22例题讲解

例1 pp（1）抛物线y22px(p)上一点M到焦点距离是a(a)，则点M到准线22的距离是 ，点的横坐标是 。

（2）抛物线y212x上到焦点的距离等于9的点的坐标 。

解析：根据抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离

例2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

(1) y2＝14x； (2) y2＝6x．

解析：根据抛物线的标准方程可求 ☆课堂小结☆

1.抛物线的定义；

2.抛物线的标准方程有四种不同的形式；

3.p的几何意义是:焦点到准线的距离； 因为MF=(x第

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4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．

☆课后作业☆

☆课后思考☆

思考一、已知焦点是F(3,0)，求抛物线的标准方程。

1思考二、已知准线方程是x，求抛物线的标准方程。

4思考三、已知焦点到准线的距离是2，求抛物线的标准方程。

附：板书设计

§2．4．1抛物线及其标准方程教学设计

1.抛物线的定义；

2.抛物线的标准方程有四种不同的形式；

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